"Buruhausleak"

1. irudia.

Haurrentzako 6, 8,… piezakoetatik pertsona patxadatsuentzako 3.000-5.000 piezakoetaraino aukera handia dago eta buruhausle -mota honetan, zailtasuna pieza-kopuruarekin batera handiagotzen da. Baina ez dira hauek hona ekarri nahi ditugunak, ez. Gure ustetan zailtasuna beti ez dago pieza ugari duten buruhausleetan. Hemen agertuko direnak, pieza gutxi edukitzeaz aparte zuk zeuk egin beharko dituzu.

Lehenengoa, hemen duzun lorontziak eta karratuak osatzen dute. Begiratu batera zeure buruari bi irudi hauek zerikusirik duten ala ez galdetuko diozu, bata biribil-biribila eta bestea karratua izanik. Hor dago gakoa hain zuzen ere; bi irudiak ondo zatitzen badira bata bestea bilaka bait daiteke. Zatiketa hau era askotara egin badaiteke ere, kasu honetan zailtasuna ez datza pieza ugariko zatiketan; ahalik eta pieza gutxieneko zatiketan baizik

Honelako buruhausleak ekarri nahi dizkizugu hona. Horra hor beste bi: dodekagonoa eta karratua eta sei erpineko izarra eta karratua (2. eta 3. irudiak). Gezurra badirudi ere, hain forma desberdineko irudiak lotu daitezke deskonposaketa egoki baten bidez. Bila ezazu zuk hori. Zer esanik ez, aurreko kasuan bezala deskonposaketa ahalik eta piezarik gutxienetan egiten saiatu behar da. Horretarako irudien neurriak zehatzak direla esan beharra dugu, hau da, izarra esate baterako zatitzen bada, lortu behar den karratua bere ondokoa da. Beste era batera esanda, azalera bereko poligonoak dira.

2. irudia.

4. irudia.

Baina, non dago buruhausle hauen jatorria? Galdera honi erantzuteko historiara jo behar dugu.

K.a. V. mendean, gaur egun “geometriako auzi klasiko” izenaz ezagutzen ditugun auziek erakartzen zituzten matematikariak. Hiru auzi hauek angeluaren trisekzioa, kuboaren bikoizpena eta zirkuluaren koadratura ziren. Azken hau da guri interesatzen zaiguna.

Matematikariek zergatik planteatzen zuten auzi hau? Zalantzarik gabe, erradioa edo diametroa emanik zirkuluaren azalera kalkulatu beharrean aurkitzen zirenean sortu zen auzia, eta abiapuntu honetatik geometrikoki baliokidetasun-auzi bihurtu zen: zirkulu baten erradioa emanik karratu baliokidearen aldea kalkulatu. Puntu honetara helduz, garai hartan þ (pi) zenbakiaren balio zehatza ez zutela ezagutzen esan behar dugu. Beraz, auzia ebaztea ez zen orduan orain bezain erraza.

Baina ikus dezagun zirkuluaren koadratura nola lortu zuten. Pitagorikoek K.a. VI. mendean jadanik poligonoen koadratura ebatzia zuten (hauek dira gure buruhausleak). Hala ere poligonoetatik zirkulura pasatzerakoan beren formulak eta metodoak aplikaezinak ziren. Hortaz, baliabide berezirik gabe egindako saiakuntzek porrot egin zuten.

Azpimarragarriak ziren, aldiz, Antifon eta Brison sofisten saioak. Lehenengoak, Poligono inskribatu bat emanik alde-kopuru bikoitza duen beste bat lor daiteke propietatean oinarriturik eta alde-kopurua handiagotu ahala poligonoa zirkulura hurbiltzen da erantsiz, poligono guztiak koadragarri zirenez zirkuluak ere koadragarri izan beharko zuela ondorioztatu zuen. Ondorio faltsua, Aristoteles-ek esan zuen bezala: alde-kopurua oso handia bada ere, poligonoak ez du inoiz zirkulua beteko. Brison-ek, bere aldetik, esandakoari poligono zirkunskribatuei zegozkien arrazonamendu analogoak erantsi zizkion, bi poligono-segidek zirkulua barruan hartzen zutela eta zirkuluaren azalera bi poligonoren (bata inskribatua bestea zirkunskribatua) azaleren artean geratzen zela erakusten zuelarik.

Hau izan zen, hain zuzen ere, Arkimedes-ek auzi honi bukaera emateko hartu zuen bidea. Hala ere, azken urrats hura eman ahal izateko beste bi eman behar ziren artean. Lehenengoa Hipias-ek eman zuen, Hipias-en koadratzaile izeneko kurba J.a. V. mendean definitu zuenean. Bigarrena Dinostrato matematikariak eman zuen, Hipias-en koadratzailearen bidez zirkunferentzia zuzenda zitekeela K.a. IV. mendean demostratu zuenean. Azken urratsa, esan dugunez, Arkimedes-ek eman zuen K.a. III. mendean zirkunferentzia zuzendatutik zirkuluaren koadraturara (erregela eta konpasaren bidez) pasa zitekeela frogatu zuenean. Hau lortzeko Arkimedes-ek þ (pi) zenbakiarentzat emandako balio hurbilduak 3 10/71 = 4’1408… eta 3 1/7 = 3’1428… ziren.

Ikusi dugunez, poligonoen koadraturek zirkuluarena bilatzen lagundu zuten. Hau zen, hain zuzen ere, guk hona ekarri nahi genuena. Izan ere, lehen aipatu dugunez irudi-bikote hauekin zera lortu nahi da: nahiz lorontziak nahiz dodekagonoak nahiz izarrak, haien ondoan duten karratuaren azalera bera dute, hau da, azalera mantenduz irudi horiek karratu bihurtu behar dira.

5. irudia.

Aurreko irudiekin deskonposaketa eskatzen bagenizun, oraingoan guk emango dizugu karratu baten deskonposaketa eta zuk bilatu beharko duzu karratua (4. irudia). Joko honek bost pieza besterik ez ditu, baina bere zailtasunak pieza askotako puzzle batzuena gainditzen du (neurriak ere zehatzak dira).

Badaude adarra jotzeko buruhausleak ere; niri informatikako ikasle batek eman didanaren antzekoak adibidez. Loyd-en ponya du izena eta hementxe duzue (5. irudia). Zera planteatzen da:

“Bost pieza horiekin zaldi baten irudia osatu behar duzu; harrapaladan, erarik airosoenean”.