"Trencaclosques"

1989/01/01 Angulo, Patxi Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Des dels infantils de 6, 8,… peces fins als de 3.000-5.000 peces per a persones tranquil·les existeix una gran varietat i en aquesta mena de capgrossos la dificultat augmenta amb el nombre de peces. Però no són les que volem portar aquí. Creiem que la dificultat no sempre està en els trencaclosques amb moltes peces. Les que apareixeran aquí, a més de tenir poques peces, les hauràs de fer tu.

La primera és el test i quadrada que tens aquí. Et preguntaràs si aquestes dues imatges tenen alguna cosa a veure, sent una rodona i una altra quadrada. Aquí està la clau, perquè si es divideixen bé les dues imatges es pot convertir una en l'altra. Si bé aquesta divisió es pot realitzar de diverses formes, en aquest cas la dificultat no radica en la divisió multipieza, sinó en la divisió mínima de peces possible.

Volem portar a aquesta mena de persones. Dos són el dodecàgon i quadrat i l'estrella i quadrada de sis vèrtexs (Figures 2 i 3). Encara que sembli mentida, és possible associar imatges de formes tan diferents mitjançant una adequada descomposició. Busca-ho tu. Per descomptat, com en el cas anterior, la descomposició s'ha d'intentar en el menor nombre possible de peces. Per a això hem de dir que les mesures de les imatges són precises, és a dir, si l'estrella es divideix, per exemple, el quadrat que cal aconseguir és el del seu costat. És a dir, són polígons de la mateixa superfície.

Però, on està l'origen d'aquests trencaclosques? Per a respondre a aquesta pregunta hem d'anar a la història.

a. C. En el segle V, els matemàtics eren atrets per qüestions que avui coneixem com a “qüestions clàssiques de geometria”. Aquestes tres qüestions eren la trisecció de l'angle, la duplicació del cub i la quadratura del cercle. Aquesta última és la que ens interessa.

Per què els matemàtics plantejaven aquesta qüestió? Sens dubte, la qüestió va sorgir quan el radi o el diàmetre obligaven a calcular la superfície del cercle, i des d'aquest punt de partida es va convertir en qüestió geomètricament d'equivalència, donant el radi d'un cercle per a calcular la diferència del quadrat equivalent. Arribats a aquest punt, hem de dir que en aquella època no coneixien el valor exacte del número de \{ (pi). Per tant, la resolució de la qüestió no era tan senzilla com ara.

Però veurem com ho van aconseguir al quadrat del cercle. Pitagòric VI. Ja en el segle XX havia resolt el quadratura dels polígons (aquests són els nostres responsables). No obstant això, en passar dels polígons al cercle les seves fórmules i mètodes eren inaplicables. Per tant, els assajos realitzats sense mitjans especials van fracassar.

En canvi, van destacar les sessions dels sofistes Antifon i Brison. La primera, a partir de l'emissió d'un Polígon inscrit, es pot obtenir un altre de doble nombre de costats basat en la propietat i a mesura que el nombre de costats augmenta, el polígon s'acosta al cercle, en ser tots els polígons cuadrables es va deduir que el cercle també hauria de ser cuadrable. Una conseqüència falsa, com va dir Aristòtil: encara que el nombre de costats és molt elevat, el polígon mai complirà el cercle. Brison, per part seva, va afegir al que s'ha dit raonaments anàlegs als dels polígons circumscrits, mostrant que les dues seqüències de polígons abastaven el cercle i que la superfície del cercle quedava entre les superfícies de dos polígons, un inscrit i un altre circumscrit.

Aquest va ser el camí que Arquimedes va prendre per a posar fi a aquesta qüestió. No obstant això, per a poder fer aquest últim pas era necessari seguir dos més. El primer ho va donar Hipias, la corba anomenada cuadrador d'Hipias. Ho va definir en el segle V. El segon va ser el matemàtic Dinostrato, que a través del cuadrador d'Hipias podia corregir-se la circumferència. IV. Quan ho va demostrar en el segle XX. L'últim pas, com hem dit, el va donar Arkimedes. III. Quan va demostrar que en el segle XVIII es podia passar d'una circumferència dirigida a un quadre del cercle (mitjançant regla i compàs). Els valors aproximats donats per Arquimedes per a obtenir això per al número \{ (pi) eren 3 10/71 = 4’1408… i 3 1/7 = 3’1428…

Com hem vist, les quadratures dels polígons van ajudar a buscar la del cercle. Això era precisament el que nosaltres volíem portar aquí. I és que, com ja s'ha esmentat anteriorment, amb aquestes parelles d'imatges es pretén que tant el test com la dodecágona o l'estrella tinguin la mateixa superfície que el quadrat que tenen al seu costat, és a dir, mantenint la superfície aquestes figures han de convertir-se en quadrats.

Si et demanem descomposició amb les imatges anteriors, aquesta vegada nosaltres et donem la descomposició d'un quadrat i tu hauràs de buscar el quadrat (Figura 4). Aquest joc consta de només cinc peces, però la seva dificultat supera la d'alguns puzles de moltes peces (mesures concretes).

També hi ha persones que es dediquen a burlar, com el que m'ha donat un alumne d'informàtica. Es diu pony de Loyd i es troba aquí (Figura 5). Es planteja:

“Amb aquestes cinc peces has de formar la imatge d'un cavall, en la captura de la forma més aèria”.