Korden paradoxa

Orokorrean zera esan dezakegu: paradoxa kontraesanera garamatzan arrazonamendua dela, hau egiazkoa, faltsua edo ez bata eta ez bestea izan daitekeelarik. Paradoxak betidanik egon dira. Esate baterako, filosofo greziarren denboran Akhilleo eta dortokarena, Epimenides kretarrarena, etab, filosofo eta matematikarientzat buruhausteak izan dira beti. Baina, XIX. mendearen amaiera izan zen arazo honek osperik haundiena hartu zuen garaia. Garai hartan paradoxa ulertezin batzuk zirela eta, matematikaren oinarriak kolokan geratu ziren eta etxe osoa erortzear egon zen. Paradoxa gehienak azaltzea lortu bada ere, gaur egun ebatzi gabe dauden paradoxak existitzen dira. Beste batzuk ordea, interpretazio ugari izan dute.

Gaur proposatzen dugun paradoxa ez da horietakoa, artikulu amaieran azalduko dugunez, baina bitxikeria dela pentsatzen dugu. Paradoxa hau Estatistika-arloan kokaturik dago; probabilitate-kalkuluan hain zuzen ere.

Has gaitezen lehendabizi problema, galdera hobeto esan, planteatzen: zirkunferentzia bat marratzen dugu. Baita zirkunferentzian inskribatutako triangelu aldekidea ere. Galdera hauxe da: korda bat marratzen badugu, zein da korda horren luzera triangeluaren aldea baino luzeagoa izateko probabilitatea?

Hona hemen galdera honi erantzuten dioten hiru ebazpen desberdin.

Marra ditzagun zirkunferentzia eta triangelu aldekidea. Izan bedi A puntua triangeluaren erpin bat. A puntutik marratutako kordak kontsideratuko ditugu. Irudian ikusten den bezala, korda aldea baino luzeagoa izateko A erpinari dagokion angeluaren barruan jarri behar dugu. Eta kasu honetan, triangeluaren beste erpinak B eta C badira, kordaren beste muturrak (D-k) B eta C puntuen arteko zirkunferentziaren arkuan egon behar du.

A puntua zirkunferentzian zehar mugituz gero, emaitza berbera izango genuke. Zirkunferentziaren luzera 2 r da, eta BC arkuarena 2 r/3. Probabilitatea aldeko kasuen eta kasu posibleen arteko zatidura bezala definituz, gure aldeko kasuak 2 r/3 dira eta kasu posibleak 2 r. Beraz probabilitatea

Galdera berberari erantzuna emateko, oraingoan beste era batera jokatuko dugu. Kasu honetan triangeluaren alde bat hartuko dugu, eta alde horrekiko paralelo diren kordak marratuko ditugu. Korda hauekiko elkartzut den diametroari begiratuz, triangeluaren aldea baino luzeagoak diren kordek diametro erdia betetzen dutela ikusten da. Guzti hau kontutan hartuz, kasu posibleak 2r eta aldeko kasuak r direla aterako dugu. Beraz kasu honetan probabilitatea

Triangelua mugitzen bada emaitza berbera lortzen da.

Hau nahikoa ez eta ikus dezagun hirugarren erantzuna. Har ditzagun oraingoan, triangeluaren aldeen erdiko puntuak. Triangelua zirkunferentziaren zentruarekiko birarazten badugu, aldeen erdiko puntu hauek beste zirkunferentzia bat deskribatuko dute. Kordak aldeak baino luzeagoak izan daitezen, korden erdiko puntuek azken zirkunferentzia honek mugatzen duen zirkuluaren barnean egon beharko dute.

Kasu honetan ez dugu finkatu ez triangelua eta ezta inongo punturik ere. Beraz probabilitatea zuzenean kalkulatuko dugu, eta hauxe da: aldeko kasuak (r/2) ² dira eta kasu posibleak r ² dira.

Problema berberari erantzuteko hiru emaitza desberdin lortu ditugu. Nola azal daiteke paradoxa hau?

Ez dugu azalean geratu behar. Hiru jokabideak aztertuz gero, lehenengoan probabilitatea kalkulatzeko zirkunferentziaren luzera hartu dugu. Bigarrenean ordea, diametroaren luzera, eta azkenik hirugarrenean zirkuluaren azalera. Hau da, hiru kasuetan probabilitate-espazio desberdinetan oinarritu gara probabilitatea kalkulatzeko. Beraz, lortutako emaitzak ez dira konparagarriak.

Problema hau Beltran-en paradoxaren adibide bat da.

Irakur dezagun ondoko esaldia:

Matematikariek zenbaki desberdinak lortzen dituzte zenbait gertaeraren probabilitatea kalkulazerakoan. Izan ere eredu matematiko desberdinek emaitza desberdinetara garamatzate, eta ereduen arteko desakordioa da, hain zuzen ere, emaitzen arteko ezadostasunaren kausa.

Eredu estatistiko desberdinen azterketa zehatzagoa ondoko koadroan agertzen da, tresneria matematiko jantziagoaz baliaturik.

Ikus ditzagun bada, hiru planteamendu desberdinei dagozkien eredu estatistikoak. Erabiliko dugun notazioan KH = Korda aldea baino handiagoa izatea gertaera izango da.

Lehenengo ikuspegian korda finkatzeko nahikoa da zirkunferentziaren puntu bat aukeratzea, beste erpina A puntua delarik. Beraz aukeraketa hori guztiz aleatorio edo zorizkoa izanik eta [0,2 r] tartean delarik, dagokion eredu estatistikoa banaketa uniformea da. Gauzak horrela KH gertaeraren probabilitatea kalkulatzeko, aldagai aleatorioak har ditzaketen balioek [2 r/3, 3 r/3] tartean egon behar dute. Beraz:

Bigarren planteamenduan, hau da, alde batekiko paraleloak marratzen ditugunean, KH gertaera beteko da baldin eta soilik baldin paraleloekiko elkartzuta den diametroan [r/2, 3r/2] tartean puntu bat aukeratzen badugu. Aukeraketa horri beste aldagai aleatorio uniforme bat dagokio, baina orain [0,2r] tartean. KH gertaeraren probabilitatea horrela kalkulatuko dugu:

Azkeneko ikuspuntuan, marratutako korda aldea baino handiagoa izango da, baldin eta soilik baldin kordaren erdiko puntua zirkulu txikiaren barnean badago. Puntu hau planoan dagoenez, bi koordenatu izango ditu (x,y) eta koordenatu–ardatzak zirkuluaren zentruan kokatzen baditugu, KH gertaera x ² +y ² (r/2) ² inekuazioa egia denean beteko da. Kontutan hartzekoa da, kasu honetan (X,Y) aldagai aleatorio bidimentsionala dela, bere eremua zirkulu handia delarik. Hau da, bere dentsitate-funtzioa

Guzti hau kontutan hartuz, KH gertaeraren probabilitatea horrela kalkulatu ahal izango dugu: