Eragiketak nola? (II). Biderkaketa eta zatiketa

Biderkaketa

Biderkaketari gagozkiolarik, kasu berezi bat (biderkagaitzat 10 zenbakia duena) aipatu behar da. Gorago aipatu eskuzko biderkaketan, eskuetan jaitsitako hatzak 10az (buruz) biderkatzen zela genion. Buruz honen barnean honako hau dago: jaitsitako hatzen kopuruak biderkaduraren hamarrekoak ematen dizkigu.

Egyptiarrek ere bazekiten 10az biderkatzen. Horretarako zenbaki bat idatzi eta gero ordena bateko ikur bakoitza hurrengo ordenako ikur batez ordezten zuten (1. irudia).

Txinarren zenbaki-sisteman ere ikus daiteke kasu honen lekukoa. 10 adierazteko ikurra jartzen den lekuaren arabera, bi esanahi ezberdin eduki ditzake (2. irudia): beste zenbaki txikiagoen ikurren ezkerrean jarriz gero, batuketa dugu. Eskuinean idazten bada ordea, biderkaketa adierazten du.

Ikus dezagun bestelako biderkaketak nola burutzen ziren.

Egyptiarrek 1 eta biderkagairik txikiena idazten zituzten bi zutaberen goiko aldean. Gero zenbaki horiek elkarren segidan bikoizten zituzten eta azpian idatzi. Bikoizketak 1aren zutabean beste biderkagaia (ez txikiena) lortu arte egiten ziren edo, hori gertatu ezik, beste biderkagaia baino txikiagoa zen zenbakirik handiena agertu arte. Lehenengo kasuan beste biderkagaiaren ondoan, eskuineko zutabean, agertuko zen emaitza. 3. irudiko a) kasuan 128 x 12 = 1536 biderkadura dugu. Bigarren kasuan, ezkerreko zutabean (1aren zutabean) biderkagai handiena batzen zuten zenbakiak aukeratzen ziren. Emaitza lortzeko eskuineko zutabean aurreko zenbakiei zegozkien zenbakiak batu behar ziren. 3. irudiko b) kasuan 369 x 19 = 4864 + 1216 + 608 + 304 + 19 = 7011 biderkadura agertzen da.

Biderkaketa egyptiarra, beraz, xinplea zen eta ez zuen taulen beharrik. Baina ez zen hori egyptiarrek erabili zuten metodo bakarra. Bikoizketa-erdibitzea izeneko metodoa ere erabiltzen zuten. Oraingoan bi biderkagaiak bi zutaberen buruan idazten zituzten; handienaren erdiak (hondarrak baztertuz) eta txikienaren bikoitzak kalkulatu eta zegozkien zutabeetan ipintzen zituzten. Bikoitzen zutabean erdien zutabeko zenbaki bakoitiei zegozkienak batzen ziren biderkadura lortuz. 4. irudian 54 x 37 = 74 + 148 + 592 + 1184 = 1998 biderkadura ikus dezakezu. Metodo hau Sobietar Batasuneko zenbait herritan ere agertzen da.

Hinduek harean egindako zutabezko abakoa erabili ohi zuten. Abako honetan, eskuineko zutabean, unitateak idazten zituzten; bere ezkerrean zegoenean hamarrekoak; ehunekoak honen ezkerrean, eta abar. Unitate-falta adierazteko hutsik uzten zuten (5. irudia).

Abako hau berau erabiltzen zuten biderkaketak egiteko. Esate baterako 325 x 28 biderkadura kalkulatzeko lau zutabeko abako batean idazten zituzten; handiena goi-eskuin aldean, bestea, aldiz, azpian ezker aldean. Lehenengo urratsean, (goiko 3) bider (beheko 2), 6, kalkulatu eta 3aren ezkerreko zutabean idazten zuten. Ondoren (goiko 3) bider (beheko 8), 24, kalkulatu eta 3aren ordez 4 idatzi eta aurreko 6ari 2 gehitzen zioten.

Lehenengo urratsa bukatua zen. Bigarrena hasi baino lehen beheko zenbakia eskuinerantz zutabe bat mugitzen zuten. Orain (goiko 2) bider (beheko 2), 4, kalkulatu eta aurreko 4ari (goiko 2aren ezkerrean dagoenari) gehitzen zitzaion. Gero (goiko 2) bider (beheko 8), 16, kalkulatu eta goiko 2aren lekuan 6 idatzi, 2a ezabatuz, eta bere ezkerrean zegoen 8ari 1 batu. Honela bukatzen zen bigarren urratsa eta beheko zenbakia eskuinerantz mugitzen zen zutabe bat. Hirugarren urratsean (goiko 5) bider (beheko 2), 10, kalkulatu; 0 eta 6 (5aren ezkerrekoa) eta 1 eta 9 (6aren ezkerrekoa) batzen ziren, lehenengoa 6 eta bigarrena 10 izanik. Hortaz 8ari (9aren ezkerrekoari) 1 batzen zitzaion, goiko zenbakia 9065 izanik.

Gero (goiko 5) bider (beheko 8), 40, kalkulatu; 5aren ordez 0 idatzi eta 6ari (5aren ezkerrekoari) 4 gehitzen zitzaion 10 lortuz; 6aren lekuan 0 idatzi eta 1a 0ri (6aren ezkerrekoari) batu 1 lortzeko. Hemen bukatzen zen hirugarren eta azkeneko urratsa, goiko zenbakia 9100 zelarik. Hau zen, hain zuzen ere, biderkadura. Ohartxo bat: guk 0 idazten dugunean haiek zutabea hutsik uzten zuten (6. irudia).

Laburbilduz, zera idatz dezakegu:

Baina metodo hau luzea eta gogaikarria zen. Zeroa aurkitu zutenean abakoa erabiltzeari utzi egin zioten eta zifrek lekuaren araberako balioa hartu zuten. Honek erraztu egin zien eragiketen kalkulua matematikari hinduei.

Hona hemen nola biderkatu zuten V. mendetik aurrera. Koadrikulazko metodo izenekoa dugu eta gero europarrek per gelosia (saretazko) izena eman zioten.

Demagun 6358 x 547 biderkaketa egin nahi dugula. Biderkakizunak 4 eta biderkatzaileak 3 zifra dutenez gero, 4 zutabeko eta 3 errenkadako laukizuzena marratzen dugu. Zenbakiak zutabe zein errenkaden buruan, hurrenez hurren, idazten dira. Lauki bakoitza goi-ezkerreko erpina eta behe-eskuinekoa lotzen dituen diagonalaz erdibitzen dugu.

Lauki bakoitzean, zutabe eta errenkadaren buruetan dauden zenbakiak biderkatu eta gero, biderkadura hori 100 baino txikiagoa izanik, hamarretako zifra beheko erdian eta unitateetakoa goiko erdian idazten dira; unitate eta hamarrekoen falta adierazteko 0 idatziko da. Laukizuzenetik kanpo eta goi-eskuineko erpinetik abiatuz, gure kasuan 6tik, diagonalen artean dauden zenbakiak batzen dira. Batura partzial hauetako batek bi zifra balitu, hamarretakoa hurrengo baturari gehituko litzaioke eta unitateetakoa bakarrik idatziko genuke. Emaitza ezkerretik eskuinera eta gero behetik gora irakurtzen da (7. irudia).

Zatiketa

Ezpairik gabe eragiketarik zailena da eta beste guztiak barneratzen ditu. Zatiketa idatziak azaldu baino lehen, duela 46 mendeko zatiketa bat ikusiko dugu. Izan ere, gaurko Irak-eko Fara herrian baina K.a. 2650. urteko Shuruppak hiri sumeriarrean burutu bait zen. Garai hartan zifra sumeriarrak existitzen baziren ere, eragiketak egiteko antzinako calculi izenekoak erabiltzen zituzten. Gogora dezagun calculi ak nolakoak ziren:

Zenbait lagunek bihitegi bat garagar banatu zuten, 7na sila garagar jaso zutelarik. Lagun-kopurua eta soberazko garagar-kantitatea bilatu behar zen. Bihitegi batek 1.152.000 sila balio zuen. Hortaz, egin behar zen eragiketa 1.152.000 zati 7 zen. Zatidurak lagun-kopurua emango zigun bitartean, hondarrak soberako garagarra emango zigun.

1.152.000 sila adierazteko 32 esfera zulatu hartu zuten. Izan ere 32 x 36.000 = 1.152.000 da. Esfera zulatuak 7 zutabeko lau errenkadatan (9. irudia) kokatu zituzten, lau esfera zulatu soberan zirelarik. Hemendik 4 x 36.000 lagun lortu zituzten eta 4 x 36.000 sila garagar soberan. Lau esfera zulatuak 40 esferaz ordeztu zituzten (esfera zulatu batek 10 esferaren balioa bait zeukan). 40 esferak zazpi zutabeko bost errenkadatan ipini zituzten eta 5 esfera soberan (10. irudia).

Beraz, 5 x 3600 lagun gehiago eta, orain, 5 x 3600 sila garagar soberan. Bost esferen truke 30 kono handi zulatu hartu zituzten (esfera batek 6 kono handi zulaturen balioa zeukan eta); 30 kono handi zulatuek zazpi zutabeko lau errenkada osatzen zituzten eta bi soberan geratzen ziren. Hau da, 4 x 600 lagun gehiago zituzten eta 2 x 600 sila garagar banatzeke (11. irudia). Bi kono handi zulatuen ordez 20 kono handi hartu zituzten (kono handi zulatu bat = hamar kono handi) eta hauek ere 7 zutabeko bi errenkadatan ipini zituzten, 2 x 60 lagun gehiago lortuz eta 6 x 60 sila garagar banatu gabe utziz (12. irudia).

Azken hauen truke 36 bola hartu (kono handi bat = sei bola) eta zazpi zutabeko bost errenkadatan jarri zituzten, bola bat soberan eta 5 x 10 lagun gehiago lortuz (13. irudia). Azkenik, bola hamar konoz ordeztuz eta hauekin errenkada bakarra osatuz, hau da, lagun bat gehiago, eta azkeneko hondarra 3 sila garagar lortu zituzten (14. irudia). Laburbilduz, 4 x 36.000 + 5 x 3.600 + 4 x 600 + 2 x 60 + 5 x 10 + 1 = 164.571 lagun eta 3 sila garagar. Eragiketa burutu eta gero, emaitza tauleta batean zifren bidez idazten zuten (15. irudia).

Zatiketa idatziari dagokionez, egyptiarrak biderkaketan erabiltzen zutenaren antzeko metodoaz baliatzen ziren. 1476 zati 12 zatiketa egiteko, biderkaketa bailitzan, 1 eta 12 bi zutabetan eta bakoitzaren azpian bikoitzak idazten zituzten (16. irudia), 12aren zutabean 1476 baino txikiagoa zen bikoitzik handiena ala 1476 zenbakia bera agertu arte. Orduan eskuineko zutabean 1476 batzen zuten zenbakiak markatzen ziren eta zenbakioi zegozkien ezkerreko zutabeko zenbakiak batu egiten zituzten emaitza lortuz.

Hau da, 1476 : 12 = 64 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = 123. Jakina, honelako zatiketa burutu ahal izateko, zatiketak zehatza izan behar du. Hala ere, egyptiarrek zatiketa ez-zehatzak egiteko teknika neketsua ezagutzen zuten. Izan ere, egyptiarrek zatiki unitarioak ezagutzen zituzten eta 2/n zatidurak kalkulatzeko erabiltzen zituzten. Rhind izeneko papiroan (17. irudia) 2/n zatiduren deskonposizioen taula bat agertzen da, n bakoitia eta 5etik 101en artekoa izanik.

Garaiz aldatuz, 1600. urtea baino lehen Europan erabiltzen zen metodoa galera edo ezabatze-metodoa zen. Ondoan, 1556 : 42 zatiketaz baliatuz, ikusiko dugu metodoa zertan zetzan:

Metodo honen arrakasta, harearen gaineko abakoan erabiltzeko erraztasunari zor zaio.

XV. mendean zatiketa burutzeko beste metodo bat sortu zen; adanda izenekoa alegia. Adanda hitzak emanez (dando) esanahia du, bere zergatia algoritmoan bertan dago. Izan ere, biderkadura partziala kentzen denean hurrengo zifra jaisten da eta hondarrari ematen zaio. Ondoan adanda algoritmoaren adibide bat ikus dezakegu. Metodo hau, dudarik gabe, gaurkoaren aitzindaria da.