Balones platónicos

2014/05/01 Lakar Iraizoz, Oihane - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

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Desde el punto de vista matemático, "los balones de fútbol son muy atractivos", afirma el matemático de la UPV José Ignacio Royo Prieto. Lejos de los remolinos, aficiones y amores platónicos que surgen alrededor del fútbol, los matemáticos ven las caras, los bordes y los vértices en los que se basan los balones. Se trata básicamente de poliedros inflados por aire, que son "estructuras muy bonitas".

Al igual que el balón Brazuca del Mundial de Fútbol de este año es un cubo soplado de aire en la base, se pueden transformar en poliedros de todo tipo. Sin embargo, "un determinado grupo de poliedros, los poliedros platónicos y sus derivados, han sido los que más éxito han tenido en la fabricación del balón. Se les llama platónicos porque se describieron en el libro Timeo de Platón, pero antes eran conocidos", explica Rovo. La peculiaridad de estos poliedros y su ventaja para la fabricación de balones es que son totalmente regulares. Por un lado, en todos los vértices ocurre lo mismo, es decir, se une el mismo número de bordes y de caras. Por otro lado, todas las caras que forman el poliedro son iguales, es decir, están formadas por un único tipo de polígonos. Además, los polígonos son regulares, es decir, tienen todos los lados iguales y los ángulos entre los lados también.

José Ignacio Royo Prieto. Es investigador del departamento de Matemática Aplicada de la UPV/EHU. Ha realizado diversas publicaciones e investigaciones relacionadas con la geometría de los balones. Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

Royo ha destacado que, al ser tan regulares, "es más fácil fabricar balones a gran escala a partir de ellos. Los modistos no necesitan saber qué es un poliedro, lo único que tiene que saber es cuántas piezas tiene que coser. Con esta sencilla regla se crea el balón". Para dar un valor a la producción de balonmano, un dato: 13 millones de unidades vendidas del Mundial de Fútbol 2010.

Sólo cinco poliedros presentan todas las características de los platónicos. La unión de los triángulos permite la formación de tres formas: el tetraedro, 4 triángulos unidos por tres; el octaedro, 8 triángulos unidos por cuatro, y el ikosaedro, 20 triángulos unidos por cinco. Con los cuadrados se puede construir el cubo (6 cuadrados agrupados de tres en tres) y finalmente el dodecaedro lo forman 12 pentágonos agrupados de tres en tres.

Cubo, base de balones viejos

En los balones más antiguos del fútbol, el XIX. Desde el siglo XX Hasta mediados del siglo XX predominan las estructuras cúbicas. De esta estructura básica de seis caras cuadradas surgieron numerosas variantes. En ocasiones, por ejemplo, para formar cada cara se unían tres piezas rectangulares, formando el cubo con 18 piezas.

XX. En el balón de la Real de principios del siglo XX se puede observar que se basa en una estructura cúbica. Cada cara del cubo está formada por tres piezas rectangulares. Ed. © Aritz Martínez

De esta estructura de 18 piezas se derivó también otra, sustituyendo las piezas rectangulares por otras en T. Así, una tira de una cara forma la línea horizontal superior de la T y la pierna de la T ocupa la mitad de la tira central de la cara lateral.

Todas estas transformaciones tienen como objetivo, como ha explicado Royo, "dar el máximo equilibrio al balón y para ello, una vez hinchado, el balón sea lo más esférico posible". Y es que, desde el punto de vista técnico, el balón debe estar equilibrado, al lanzar, "para que el movimiento sea lo más normal posible, lo más parecido al que tendría una partícula. Si el balón está desequilibrado, su movimiento es más complejo y eso es malo para los que juegan".

Como la estructura del balón se hace en trozos y los trozos se cosen, "hay que tener muy en cuenta los bordes que se forman en las costuras", ha precisado Royo. Esto se debe a que al inflar el balón los bordes no se mueven, ya que no son tan flexibles como el resto del material, lo que puede provocar abombamientos o desequilibrios que pueden provocar efectos inesperados. Por lo tanto, las variantes mencionadas fueron soluciones ideadas para que al inflar el balón y al curvar las piezas fueran lo más esféricas posibles. Por ejemplo, al curvarse, las piezas en T se aproximan más a la forma de una esfera que a las piezas rectangulares.

Estrella en las estrellas, balón de hexágono y pentágono

A pesar de los avances, el cubo no es la forma más cercana a la esfera y en la evolución de los balones se inventaron otras estructuras básicas. El balón creado para el Mundial de Fútbol de 1970, el Telstar, fue un hito. "Desde entonces el poliedro formado por hexágonos y polígonos se convirtió en el arquetipo de la inmensa mayoría de los balones de fútbol. Fue un gran paso hacia la rotonda de los balones, que ocupa el 86% de la esfera sin que este poliedro estuviera inflado por el aire", afirma Royo.

Está formado por 20 triángulos unidos por cinco. Al cortar los vértices del icosaedro, lo que era un vértice se convierte en pentágono y los triángulos en hexágono. Esta es la base del balón más exitoso de la historia. Ed. © Krissada Chuanyen/123 RF

Este poliedro, conocido como ikosaedro cortado, está formado por 12 pentágonos y 20 hexágonos. No es poliedro platónico, ya que está formado por dos tipos de polígonos, pero procede de un platónico, el ikosaedro. Si tomáramos un icosaedro de goma o queso y cortáramos cada uno de los vértices en los que se juntan cinco caras, éstos se convertirían en pentágonos y los triángulos en hexágonos. El resto de características son las mismas que las del poliedro platónico, es decir, todos los polígonos son regulares y en todos los nuevos vértices ocurre lo mismo. Así, crean una nueva familia de poliedros derivados de polígonos platónicos: polígonos arquimedianos.

Por tanto, el uso de polígonos arquimedianos en la fabricación de balones “tiene las mismas ventajas que los poliedros platónicos, por lo que su fabricación es sencilla. Parece ser que con el icosaedro cortado consiguieron el mayor equilibrio entre la rotundidad y la complejidad de fabricación". Y es que hay polígonos con más rotundidad que él, como el ronvicosidecaedro que se forma con la combinación de pentágonos, cuadrados y triángulos, que ocupa el 94% de la esfera sin llenar, pero es más complejo de producir porque tiene 72 piezas y 120 costuras, y "no ha tenido éxito en balonería, probablemente porque sería demasiado caro", afirma el matemático.

--> Evolución de los balones de Adidas para el Mundial desde 1970 hasta la actualidad

Balones modernos, poca costura y muchos tratamientos térmicos

El problema de las costuras, y en general el límite de los poliedros, "hoy en día está superado y no es difícil completar las esferas con partes de todo tipo. Los balones se fabrican con otros materiales, como los plásticos, que son más flexibles que el cuero y que con el calor pueden adoptar cualquier forma". Por lo tanto, las piezas no presentan cubos, hexágonos ni pentágonos. Además, la unión entre piezas también es térmica, por lo que no hay costura.

En el caso del balón Brazuca, por ejemplo, está formado por seis estrellas de cuatro brazos que al juntarlas térmicamente forman una esfera perfecta. Carece de trazas propias de poliedros y costuras. Pero como algunos poliedros pueden convertirse en esferas, las esferas, deformándolas de forma continua, pueden transformarse en poliedro. Haciendo este ejercicio, es decir, pisando simultáneamente las seis piezas, en la base de Brazucca se puede ver un cubo desde el punto de vista topológico. En la topología no importa que los bordes de las caras que forman el poliedro tengan una línea recta o curva; sólo tiene en cuenta la estructura, que se juntan por tres", dice Royo. En definitiva, los balones más modernos se basan también en la geometría.

--> Ver cómo se hace Brazuca

Championsedro, poliedro que no podría convertirse en balón

El logotipo de la Liga de Campeones no es la imagen de un balón real. En el balón real, las estrellas se juntan por tres. En el logotipo hay dos grupos de cuatro estrellas. Ed. © Kelly Boreson/350RF; Ronnie Chan

 

Uno de los principales torneos de fútbol, la Liga de Campeones, tiene un balón especial, caracterizado por estrellas que se tocan entre sí. Sin embargo, este balón no requiere poliedro especial, ya que se trata básicamente de un ikosaedro cortado. Se fabrica a partir de un icosaedro, como los balones clásicos formados por pentágonos y hexágonos. Tanto como a la hora de cortar los vértices del icosaedro, eliminando una gran parte, como para que los pentágonos que allí se forman se toquen entre sí, se producirían triángulos entre los pentágonos en lugar de los hexágonos. Es decir, se formaría un ikosidodekaedro. Y si en esos pentágonos dibujáramos estrellas de cinco puntas, conseguiríamos el balón de la Liga de Campeones.

No ocurre lo mismo con el logotipo de este campeonato. A primera vista sí. Sin embargo, si nos fijamos en él, podemos observar que tiene "errores ortográficos" topológicos. De hecho, en el verdadero balón las estrellas forman tres círculos. El logotipo tiene dos círculos de cuatro estrellas. "Creo que el diseñador tuvo una falta de responsabilidad o interés en la elaboración del logotipo. No creo que querría romper específicamente la estructura del balón, que fue algo realizado artísticamente de manera apropiada", afirma José Ignacio Royo Prieto, matemático del Departamento de Matemática Aplicada de la UPV.

Sorprendido por la apariencia de este logotipo, Royo se centró en estudiar la posibilidad de realizar un poliedro que envuelve a tres y cuatro estrellas pentagonales. Le dio el nombre de Championsedro. "Con la fórmula de Euler vimos que es posible crear un poliedro de estas características, pero los círculos de cuatro estrellas tendrían otra posición", explica. Estos dos círculos se enfrentarían entre sí, lo que daría una forma elipsoidal al poliedro. "Sería muy difícil jugar al fútbol con un balón hecho con este poliedro".

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