Baloiaren forma

Gizakiak bi mila urte daramatza futbol-baloiari ostikoka. Grezia zaharrean, Mexikon, Italian edo Txinan tramankulu biribilarekin jolasean entretenitzen ziren. Hau, adibidez, gordetzen den baloirik zaharrena dugu. Eskoziako gaztelu batean topatu zuten, eta 1500 ingurukoa da. Baloiak biribilak izan dira beti, baina gaur biribilagoak dira, matematikaren laguntzaz.

IÑAKI LETURIA; Elhuyar Fundazioa: Jose, zuk baloiari azalpen matematikoa ematen diozu. Guk baloia ikusten dugu, eta zuk, berriz, geometria.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Bai, nik hemen ikusten dudana da, alde batetik, poligonoak (pentagonoak eta hexagonoak) nola elkartzen diren poliedro bat osatzeko.

Poliedro honek gainera izen propioa du: ikosaedro moztua. Badira beste diseinu batzuk, baina hau da baloiak egiteko gehien erabiltzen dena. Zergatik?

Maitasun platonikoak daude, eta badira, halaber, solido platonikoak ere. Poligono erregularrak oinarri dituzten poliedro esferikoak dira solido platonikoak, hau da, triangeluak, karratuak ala pentagonoak batuz eraikitzen diren bolumenak, non erpin bakoitzean aurpegi-kopuru bera batzen den. Bost baino ez dira. Bolumen horiek izan dira historian zehar matematikaren laguntzaz baloiak diseinatzeko abiapuntua. Kuboa, adibidez, solido platoniko bat da.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Adibidez, har dezagun kubo bat

IÑAKI LETURIA; Elhuyar Fundazioa: Tira, ez da oso biribila...

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Ba ez, baina asko puzten badugu, biribiltzen da. Esfera baten barruan bolumen jakin bat hartzen du, baina hartzen badugu, adibidez, ikosaedro bat, biribilagoa da; inguratzen duen esfera imajinatzen badugu, hartzen duen portzentaia askoz ere handiagoa da.

Athletic futbol-taldearen museoa toki ona da baloiaren biribiltasunaren historia ezagutzeko. Argazki zaharretan ederki asko ikus daiteke izan duen garapena.. Eta harrigarria bada ere, izan ziren kuboa oinarri zuten baloi biribilak.

IÑAKI LETURIA; Elhuyar Fundazioa: Zer polita, kubo-egitura du honek oinarri, ezta? Dado bat, azken finean.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Bai, hiru zatiak elkartzen dira karratu bat osatzeko, eta sei aldeak karratu gisan elkartzen dira, kubo-egituran...

IÑAKI LETURIA; Elhuyar Fundazioa: Honek ere matematika atzean, geometria.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Bai, solido platoniko bat da azkenen finean.

IÑAKI LETURIA; Elhuyar Fundazioa: Hau 58koa bazen, hau zaharragoa, 1950ekoa.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Eta egitura aldetik antzekoa, polita, kubikoa hau ere.

Biribiltasunera bidean, 1970. urtean, jauzi handia gertatu zen: kuboa baztertu eta ikosaedro moztua zabaldu zen, ikosaedroaren garapen bat.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Demagun ikosaedro hau gaztaz egina dagoela, eta hemendik ebakitzen dugula; erpin hau kenduko bagenio, piramidearen oinarria geldituko litzateke, hau da, pentagono bat, eta hori erpin guztietan eginik, triangeluak hexagono bilakatzen dira.

IÑAKI LETURIA; Elhuyar Fundazioa: Eta orduan baloia lortuko genuke.

Ikosaedro moztuak esferaren % 86 betetzen du; hori, puztu gabe. Behin puztuta, % 95era iristen da. Matematikoki eta modurik sinpleenean, esferatik gertuen gelditzen den forma da. Poliedro biribilagoak badira, noski, poligono askoren konbinazioak erabilita lortzen direnak. Ronbikosidodekaedroak adibidez, puztu gabe, esferaren % 94 betetzen du. Garestia da, ordea, ekoiztea: 120 jostura ditu, eta ikosaedro moztuak, berriz, 90 baino ez.

Naturan ere bada halako poligonorik. Gizakiarentzat egiturarik merkeena dena, naturarentzat orekatuena eta eraginkorrena da. Hexagonoak eta pentagonoak erabiltzen ditu oskola eraikitzeko itsas triku mota batek, eta karbonoaren egiturarik egonkorrenetako batek ikosaedro moztuaren itxura du. Kointzidentzia? Ez, matematika.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Ikusi, hexagonoak eta pentagonoak ditugu. Pentagonoak elkartu daitezke hirunaka, eta horrela jarraituta, lortuko genuke dodekaedro bat, solido platonikoetako bat. Baina hartzen baditugu, adibidez, hiru hexagono, ertzak batuz...

IÑAKI LETURIA; Elhuyar Fundazioa: Ez da bolumenik lortzen.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Horixe, laua da.

Hori jakina da duela ia 2000 urtetik. Teeteto greziar matematikariak frogatu zuen bost solido platoniko baino ez direla, ezinezkoa dela hexagono hutsez eraikitako formarik egitea.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Hor ikusi duguna hemen ere ikusten da, badakigu hori angelu laua dela.

Diseinatzaile grafiko batzuk, antza, ez dira honetaz jabetu. Googlen bilaketa egin eta to! Lehen emaitza, hexagonoz egindako baloia. Logika matematikoaren kontra doazen adibide gehiago ere badira, Championseko logotipoa, kasu.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Champion-seko benetako baloiaren diseinua forma honetan dago oinarritua. Pentagono bakoitzean izar pentagonal bat darama marraztua, eta, horregatik, hirunaka elkartzen dira izar pentagonalak. Baina beste kontu bat da logotipoan gertatzen dena; hemen launaka elkartzen dira! Hori arraroa da...

IÑAKI LETURIA; Elhuyar Fundazioa: Ezinezkoa...

Eta ez da, gainera, apurtzen duen arau matematiko bakarra. Euler ez da Alemaniako futbol-jokalari bat; Suitzako matematikari bat izan zen, eta poliedro esferiko guzti-guztietan, adibidez kuboan, betetzen den formula aurkitu zuen. Formulak dio: erpinak ken ertzak gehi aurpegiak, beti bi irteten da… baina ez hemen. Izatekotan, championsaedroaren irudikapena hau litzateke.

Baloi modernoetan, Jabulani eta antzekoetan, ez dago hexagono eta pentagonorik. Beroaren laguntzaz ematen diote materialari forma biribila.

IÑAKI LETURIA; Elhuyar Fundazioa: Tranpa dela, alegia...

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Bai, poliedroen ikuspuntutik tranpa txiki bat da, baina izan badute egitura poliedrala, baina barruan.

Gaurko ikasgaia, futbola ere matematikoki azal daitekeela.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Horregatik, matematika politak dira sinpleak direnak, gero erabilgarriak direlako; hor dago edertasuna, eta hori da nik futbol-baloian ikusten dudana.

IÑAKI LETURIA; Elhuyar Fundazioa: Eskerrik asko baloiaren atzean zer dagoen erakusteagatik.

JOSÉ IGNACIO ROYO; matematikaria, UPV/EHU: Zuei, atsegin handia da.