Urrezko katea eta...

Azken bolada honetan zurrumurru asko sortu duen jokoa urrezko katea dugu. Dagoenekoz komunikabidetan, telebistan, egunkaritan, irratitan, hitz asko esan da joku honetaz. Guk hemen, matematikarekin lotuko dugu joku hau.

Has gaitezen jokoaren garapenetik eta 40.960.000 pezetak nola irabaz litezkeen ikus dezagun. A pertsonak zerrenda bat erosten duela suposatuko dugu. Zerrenda erosi eta gero, bertan agertzen den lehenengo pertsonari 5.000 pezeta ordaindu behar dizkio. Zerrendagatik beste 5.000 pezeta ordaindu zituenez, momentuz 10.000 pezeta galdu ditu. Orain zerrendatik lehenengo izena kendu egin behar du eta berea 12. lekuan, hots azkenean, idatzi.

Zerrenda berri hau bi pertsonari saldu beharko dio. Bi hauek B eta C badira, hauek bakoitzak bere zerrendan A-ren izena 12. lekuan izango dute, (momentu honetan A-k berreskuratzen ditu 10.000 pezetak, beraz ez du ezer galdu). B eta C lagunek beste bina pertsonari pasa behar dizkiote zerrendak; esate baterako D, E, F eta G-ri. Lau lagun hauen zerrendatan A-ren izena 11. lekuan aurkituko genuke. Hurrengo urratsean 8 izango dira zerrendan A-ren izena 10. lekuan izango duten lagunak. Hurrengoan 16 pertsonak A-ren izena 9. lekuan izango dute. Ez da batere zaila A-ren izena zerrendako 1. lekuan duten lagunen kopurua 4.096 dela kalkulatzea.

Azken hauek 8.192 laguni saldu behar dizkiote zerrendak, zerrenda guzti hauetan A-ren izena 1. lekuan dagoelarik. Beraz 8.192 lagun hauek A-ri bostna mila pezeta ordaindu beharko dizkiote zerrenda erosteko, hau da, A-k 8.192 x 5.000 = 40.960.00 pezeta kobratu beharko lituzke (dena ondo ateraz gero). Hemen esandakoari hobeto jarraituko zatzaizkiolakoan, hona hemen prozesuaren urrats guztiak dituen taula:

Honeraino jokoaren deskribapena egin dugu. Deskribapen honetan lagunen kopuruaren hazkuntza handia agerian dago. Honetaz eta zenbaki haundiez arituko gara artikuluaren amaieran. Hemen joko eta diru hitzak aipatu ditugu, eta orain zaila egiten zaigu dirua azkar irabazteko ezagutzen ditugun zorizko beste jokoak ez aipatzea.

Oraingoan joko hauen probabilitateen gutxi gorabeherazko kalkuluari ekingo diogu.

Urrezko katea ezin dugu zorizko joko bezala kontsideratu. Izan ere zein da zerrenda bat saltzeko probabilitatea? Nik neuk bi zerrendak egun batean saldu dituen lagun bat ezagutzen dut, baina baita bi aste pasa eta zerrenda bat bera ere saldu ez duen laguna ere. Ez gara, beraz, joko honen probabilitateaz arituko; bai ordea besteenez.

Kinielak

Hasteko, zergatik ez, kinielak aztertuko ditugu. Jakina, joko honetan giza faktoreak bere inportantzia du; hori ez diogu ukatuko (1, X, 2 ikurrek ez dute ateratzeko probabilitate berbera Erreala-Sabadell edo Osasuna-Bilboko Atletia partiduetan).

Baina apostua egiten duen lagunaren ikuspuntutik hartuz, partidu bakoitzari 1, X ala 2 jar liezaioke, batekin bakarrik asmatzen duelarik, hau da, asmatzeko probabilitatea 1/3 izango da. Bi partidu asmatzeko probabilitatea 1/3 . 1/3 (lehenengoa eta bigarrena) da. Beraz 14 partiduak asmatzeko probabilitatea litzateke (guzti hau zutabe batekin noski).

Bi edo hiru ikur erabiliz, probabilitatea igo egingo da. Apostu anizkoitzik handiena 5 hirukoitz eta 2 bikoitzekoa da. Horrek 972 apostu egiten direla esan nahi du. Beraz kasu honetan probabilitatea 0,0002032 da (hau da 4.921 apostutatik posibilitate bat bakarrik asmatzeko). Ikusten denez, asko aurreratu arren ez da hamarrenera ere heldu, eta xahutu behar den kopurua 19.440 pezeta da (ez ditugu garapen laburtuak aztertuko hemen).

Loteriarekin segituko dugu. Joko honetan giza faktoreak ez du eraginik. Loterian sari asko dago, baina nagusia 80.000 zenbakitatik bati bakarrik dagokio. Kasu honetan probabilitatea

da; txikia inola ere. Badago pedrea izeneko saria (denok dakigunez zure zenbakiaren azken zifra sari nagusiarenarekin bat badator, jokatzen duzuna bueltatzen dizute). Zozketa arrunt batean gutxi gorabehera 1.200 sari daudela kontutan hartuz (bukaerak kontatu gabe) sariren bat lortzeko probabilitatea 0,015 da (hots, 67 probabilitatetik bat bakarrik); ez dago gaizki kinielarekin konparatuz.

Lotoa

LOTO-aren zozketa-sistema, desberdina da guztiz. Jokalariak 49 zenbakitik 6 aukeratu behar ditu. Saritua izateko probabilitateak ondoko taulan agertzen dira.

Hemen ez ditugu karratu batean apostu anizkoitzak egiten direneko kasuak aztertuko. (Kasurik errazenean, agerian dagoenez, 1055 posibilitatetik bat bakarrik dago irabazteko).

BONO-LOTO joko berrian probabilitateak 4 aldiz handiagoak dira, apostu berberak 4 zozketatan parte hartzen duelako. Hauexek izango dira:

(Kasurik errazenean 263 apostutik posibilitate bat bakarrik dagoen asmatzeko).

Itsuen zozketa

ONCE-ren zozketan 5 sari bakarrik daude. 100.000 zenbakik hartzen dute parte. Sari nagusia lortzeko probabilitatea 1/10 ⁵ da, hau da, 0,00001. Bigarren saria lortzeko (baina ez lehenengoa) probabilitatea 9/10 ⁵ = 0,00009 da. Hirugarrena (eta ez bi aurrekoak) lortzeko 9/10 ⁴ = 0,0009ko probabilitatea izango dugu. Laugarrena (eta ez aurrekoak) eskuratzeko 9/10 ³ = 0,009koa da probabilitatea, eta azkenik bostgarrena bakarrik erdiesteko probabilitatea 9/10 ² = 0,09 da. (Sari bat lortzen bada, beheragoko mailako sariak ezin direla lortu kontutan hartu behar da) Baina gutxienez sari bat lortzeko probabilitatea 1/10 = 0,1 da (hau azken zifra asmatzeari dagokio).

Orain arte zorizko joko ezagunen probabilitateei dagokiena esan dugu. Ikusten denez, ez da erraza metodo hauen bidez dirua lortzea.

Urrezko katea

Orain, eta aginduta bezala, Urrezko katea jokoan parte hartzen duten lagunen kopuruaren hazkuntzaz eta zenbaki handiez arituko gara.

Jo dezagun pertsona batek bi zerrenda saltzeko aste bat behar duela. Estatuan zerrenda 20.000.000 biztanlek eros dezaketela ere suposatuko dugu. Ondoko zerrendan ikusten denez 23. astean 8.388.608 lagunek erosiko lukete zerrenda bana, zerrendarik gabe 3.222.786 lagun geratzen direlarik, ikus taula orijinalean. Hurrengo astean 16.777.216 zerrenda saldu beharko lirateke. Lagun bakoitzak zerrenda bakar bat erosten duela soposatzen badugu, ez litzateke zerrenda guztiak erosteko lagunik geratuko. Hau da,

esateko zerrenda bat erabili dugu. Baina harrigarria da munduko populazioaren erdia hartuz, hau da 2.000.000.000 lagun, jokoa 29. astean (hots 6 aste geroxeago bakarrik) bukatuko litzatekeela jakitea, ondoko zerrendan ikus daitekeenez.

Bukatzeko

Har ezazu orain paper bat eta egin gabe esan gutxi gorabehera zenbat aldiz toles dezakezun. Proba ezazu folio batekin. Lortu al duzu? Ezetz? Har ezazu orri handiagoa, esate baterako egunkariko orri bikoitza, eta saia zaitez berriro. Zenbat aldiz tolestu duzu? Demagun orri baten lodiera 0,001 cm-koa dela.
Orria behin tolesten badugu, bi orriren lodiera lortuko dugu. Berriro tolestuz, lau orriren lodiera eta horrela segituz gero, 50 alditan tolestuz gero 2 ⁵⁰ = 1.125.699.906.842.624 orriren lodiera lortuko genuke, hau da:

hots hamaika milioi kilometro baino lodiera handiagoa lortuko genuke. Gehienez 8 alditan toles daitekeela frogatu da praktikan. Zenbaki handiez ari garenez gero, bi galdera egingo ditugu artikulua bukatzeko: zenbat denbora beharko zenuke 1-etik abiatuz (bat, bi hiru, ...) milioi bat zenbaki kontatzeko? eta bilioi bat kontatzeko? (Kalkula ezazu minutu batean zenbat zenbaki kontatzen dituzun).