Problema obert

1992/11/01 Angulo, Patxi Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

inquemos la circumferència de diàmetre 1. Al seu al voltant representarem polígons inscrits i circumscrits que no seran normals.

Ramón Urkola em va proposar aquest problema.

Fixem una circumferència de diàmetre 1. Al seu al voltant representarem polígons inscrits i circumscrits que no seran normals. Seguirem el següent procediment: representarem el polígon circumscrit de la zona k i calcularem el seu _perímetre P0(k). En el segon _pas prendrem aquest perímetre P0(k) com el nombre de costats dels nous polígons inscrits i circumscrits i calcularem els seus nous perímetres; P1(k) i P1(k); P1(k) com el nombre _{de costats} dels dos nous polígons, P1(k) i P2(Pk). Continuant d'aquesta forma obtenim dues seqüències de polígons i els seus corresponents perímetres:

Inscrita: P0, _p1(k), p2(k), ..., _pn(k), ...Circumscrita:
P0, _P1, P2, ..., _Pn(k), ...

Recordar que _{cada Pn(k) té} dos significats: el perímetre d'un polígon circumscrit i el nombre de costats dels següents polígons inscrits i circumscrits.

La pregunta és tenen límits aquestes dues seqüències?.

Cal destacar que els polígons que apareixen aquí són “polígons teòrics”. De fet, el perímetre _Pn(k) és un nombre real que no té per què ser sempre un número normal. Per exemple, mirant al tauler, quan agafem k = 3,5950 ens apareix un polígon de 3,5950. Això no és un polígon molt comú, clar.

Núm.(s) _{d'interiores3.01005,173,594,83,83,83,82,83,82,83,83,82,83,83,82,83,83,82,83,82,83,82,83,82,83,82,83,82,82,83,82,83,83,82,83,82,83,83,82,83,83,82,83,83,83,83,83,82,83,83,83,83,83,83,83,83,83,83,82,83,83,83,83,82,83,83,83,83,83,83,83,82,82,83,82,83,83,83,82,82,83,83,83,82,82,83,83,82,83,83,83,83,83,82,82,83,83,83,83,83,82,83,83,83,83,82,82,83,82,82,83,83,82,82,83,83,83,83,83,83,.}

Per a calcular el perímetre dels polígons és necessari conèixer l'angle central. Aprofitem per a ampliar el concepte de polígon: els polígons regulars de m (normal) poden dividir-se en m triangles isòsceles, amb un angle ? = 2p/m format per les mateixes cares. En aquest problema prendrem el número m real.

Les fórmules dels perímetres dels polígons inscrits i circumscrits són: angle central corresponent als polígons ?; longituds dels costats dels polígons l; nombre de costats k i radio r.

Ramón Urkola va obtenir les dades que apareixen en la taula. El primer nombre de diferències que va triar per a iniciar la seqüència va ser k = 3,0100. A partir d'aquí _calcula els perímetres P0 = _2,6014 i P0 = 5,1718. En la següent k = 5,1718, obtenint p1 ₌ 2,9519 i P1 = _3,5950. Així va aconseguir tots els següents perímetres.

Analitzant la taula s'observa que la successió perimetral pn oscil·la al voltant de 2,82... El mateix ocorre amb el perímetre Pn i el número 4. Això ens dóna la pista. 2,82... (o més concretament 2) 2) i 4 són els límits de les sèries Pn _{i Pn?} En tots dos casos, els perímetres 2 i 4 corresponen a quadrats inscrits i circumscrits.

En aquesta circumferència, de diàmetre 1, els perímetres dels polígons inscrits es dirigeixen cap al valor 2, és a dir, s'obté un polígon de 2 perímetres (nombre de costats). Aquest polígon és quadrat. Els perímetres dels polígons circumscrits tenen com a límit el valor 4. Aquest valor també correspon a un quadrat. En tots dos casos les aproximacions es produeixen alternant valors més o menys aproximats (veure taula).

La següent pregunta és que el diàmetre de la circumferència està estretament unit als perímetres dels polígons. Per tant, s'obtindran diferents resultats per a diferents diàmetres?, quina és la relació entre diàmetre i límits?

Una altra pregunta, si en lloc de prendre com a nombre de costats els perímetres dels polígons circumscrits els inscrits, quin resultat obtindríem?.

Finalment, pot ser qualsevol el nombre de primers costats que es triï per a iniciar les seqüències de perímetres?.