Problema irekia

inka dezagun 1 diametroko zirkunferentzia. Bere inguruan poligono inskribatu eta zirkunskribatuak irudikatuko ditugu, baina poligono horiek ez dira arruntak izango.

Ramon Urkolak proposatu zidan problema hau.

Finka dezagun 1 diametroko zirkunferentzia. Bere inguruan poligono inskribatu eta zirkunskribatuak irudikatuko ditugu, baina poligono horiek ez dira arruntak izango. Ondoko prozedurari jarraituko gatzaizkio: k aldeko poligono zirkunskribatua irudikatu eta bere P₀(k) perimetroa kalkulatuko dugu. Bigarren urratsean P₀(k) perimetro hori bigarren poligono inskribatu eta zirkunskribatu berrien alde-kopurutzat hartuko dugu eta beren perimetro berriak kalkulatuko ditugu; P₁(k) eta P₁(k) alegia; P₁(k) perimetroa (poligono zirkunskribatuarena) beste bi poligono berrien alde-kopurutzat hartu eta bi perimetro berriak kalkulatu, p₂(k) eta P₂(k). Horrela segituz bi poligono-segida eta dagozkien perimetroen segidak lortuko ditugu:

Inskribatuena: P₀(k), p₁(k), p₂(k), ..., p_n(k), ...
Zirkunskribatuena: P₀(k), P₁(k), P₂(k), ..., P_n(k), ...

Gogoan izan P_n(k) bakoitzak bi esanahi dituela: poligono zirkunskribatu baten perimetroa eta hurrengo poligono inskribatu eta zirkunskribatuen alde-kopurua.

Galdera hauxe da, bi segida horiek limiterik ba al dute?.

Azpimarratzekoa da hemen agertzen diren poligonoak “poligono teorikoak” direla. Izan ere, P_n(k) perimetroa zenbaki erreala da, eta ez du zertan beti zenbaki arrunta izan behar. Esaterako, taulari begira, k = 3,5950 hartzen dugunean 3,5950 aldeko poligonoa agertzen zaigu. Hori ez da oso poligono arrunta, noski.

k alde-kopuruap_n(k) perimetroakP_n(k) perimetroak3,0100
5,1718
3,5950
4,2948
3,8549
4,0897
3,9511
4,0286
3,9838
4,0092
3,9947
4,00302,6014
2,9519
2,7567
2,8688
2,8052
2,8416
2,8208
2,8327
2,8259
2,8298
2,8276
2,82885,1718
3,5950
4,2948
3,8549
4,0897
3,9511
4,0286
3,9838
4,0092
3,9947
4,0030
3,9982

Poligonoen perimetroa kalkulatzeko angelu zentrala ezagutu behar da. Horretaz baliatzen gara poligono kontzeptua hedatzeko: m (arrunta) aldeko poligono erregularrak m triangelu isoszeletan bana daitezke, alde berdinek osatzen duten α angelua α = 2p/m delarik. Problema honetan m zenbakia erreala hartuko dugu.

Hona hemen poligono inskribatu eta zirkunskribatuen perimetroen formulak: α poligonoei dagokien angelu zentrala; l, L poligonoen aldeen luzerak; k alde-kopurua eta r erradioa.

Ramon Urkolak taulan agertzen diren datuak lortu zituen. Segida hasteko aukeratu zuen lehenengo alde-kopurua k = 3,0100 izan zen. Handik abiatuz P₀ = 2,6014 eta P₀ = 5,1718 perimetroak kalkulatu zituen. Hurrengoan k = 5,1718 alde-kopurua hartuz p₁ = 2,9519 eta P₁ = 3,5950 atera zituen. Horrela lortu zituen hurrengo perimetro guztiak.

Taula aztertuz p_n perimetro-segidak 2,82... inguruan oszilatzen duela ikusten da. Gauza bera gertatzen da Pn perimetro eta 4 zenbakiarekin. Horrek pista ematen digu. 2,82... (edo zehatzago 2¯ 2) eta 4 al dira P_n eta P_n segiden limiteak?. Bi kasuetan 2¯ 2 eta 4 perimetroak karratu inskribatu eta zirkunskribatuei dagozkie.

Horrelako zirkunferentzian (1 diametroko zirkunferentzian, alegia) poligono inskribatuen perimetroek 2¯2 baliorantz jotzen dute, hau da, 2¯2 perimetroko (alde-kopuruko) poligonoa lortzen da. Poligono hori karratua da. Poligono zirkunskribatuen perimetroek, aldiz, 4 balioa dute limitetzat. Balio hau ere karratu bati dagokio. Bi kasuetan hurbilketak gutxiagozko eta gehiagozko balioak txandakatuz gertatzen dira (ikus taula).

Hurrengo galdera hauxe da: zirkunferentziaren diametroa eta poligonoen perimetroak hertsiki loturik daude. Beraz, diametro desberdinetarako emaitza desberdinak lortuko al dira?, zein da diametroa eta limiteen arteko erlazioa?

Beste galdera bat, alde-kopurutzat poligono zirkunskribatuen perimetroak hartu beharrean inskribatuenak hartuko bagenitu zein emaitza lortuko genuke?.

Azkenik, perimetroen segidak hasteko aukeratzen den lehenengo alde-kopurua edozein izan al daiteke?.