Matemáticas no mundo financeiro

2000/08/01 Duoandikoetxea Zuazo, Javier - EHUko matematika irakaslea Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Solicitude de préstamo

Temos que comprar a casa. Custa moito e o diñeiro que temos non é suficiente. De onde sacamos o que nos falta? Hai tempo que se inventou o prestamista. Na actualidade, os bancos son os principais responsables desta obrigación.

Fomos ao banco e pedimos os doce millóns que necesitamos. Á marxe das garantías, etc. (non por falta de importancia, senón porque non teñen nada que ver cos cálculos), temos que definir outras cousas: canto tempo devolveremos o diñeiro e cal é o tipo de interese? Una vez coñecidos, determínase a cantidade que imos abonar mensualmente ao banco. Necesítanse matemáticas, pero non é difícil facer a conta: canto diñeiro serían si dentro dos doce millóns de quince anos de hoxe aumentasen un 0,50% no mes? Paira as M pesetas que pagamos mensualmente, hai que facer un cálculo similar, tendo en conta os meses que restan a cada pago paira cumprir o quince anos. Para que sexan iguais obtemos un valor paira M. Pagar tantas pesetas ao mes e listo. Estes cálculos e fórmulas ensínanse na escola. A verdade é que aínda que a xustificación da fórmula é un pouco máis difícil de contar que o diñeiro, non se pode dicir que haxa que utilizar as Matemáticas a nivel alto. As fórmulas son moi coñecidas e están en mans de calquera.

Coñecendo o funcionamento básico da argumentación, tamén é fácil valorar outras posibilidades que ofrece o banco: si despois de tres anos decidimos pagar un millón de pesetas nun pago paira aliviar a nosa débeda co banco, canto hai que baixar a cota mensual? Ou até cando temos que seguir pagando si queremos aproveitar a oportunidade de acurtar o prazo de amortización? Como se modifica a cota mensual si o tipo de interese é variable e procédese á súa revisión transcorrido un ano?

A matemática do mundo dos préstamos é sinxela. Ademais diso, é vello e aínda que pase o tempo, as fórmulas pódense aplicar sen cambios e con cálculos "pequenos". Saldar débedas é máis difícil que facer estas contas matemáticas...

Novos produtos

O 10 de novembro temos que realizar un pago de 5 millóns paira facer realidade un negocio. Paira iso utilizaremos o diñeiro que incluímos nas accións de K. Vendo a cotización actual das accións en bolsa, si vendemos tantas accións como sexan necesarias e compramos letras de interese fixo co diñeiro obtido, estamos seguros de que o día 10 de novembro estaremos en condicións de realizar un pago de cinco millóns.

Con todo, á vista da evolución accionarial de K, gustaríanos non vender agora. Está a estudarse a segunda opción, a venda o 10 de novembro. Si o prezo das accións aumentase respecto das letras de interese fixo, paira conseguir o cinco millóns teriamos que vender menos que hoxe e sairiamos gañando, pero o prezo tamén pode baixar e entón... Esta segunda opción corre o risco e ninguén nos dirá agora que lles pasará ás accións dentro duns meses.

E si alguén nos compra as accións polo menos o 10 de novembro ao prezo fixado hoxe? É dicir, queremos comprar una oportunidade: o 10 de novembro queremos atopar a alguén disposto a pagar a P peseta por cada acción de K, polo menos até un número de accións, independentemente do prezo que teñan en bolsa ese día. Despois, chegado o día, faremos o que máis nos conveña a nós, vendendo no mercado ou acudindo a vender a quen nos asinou a oportunidade. Esta terceira opción ten as vantaxes da segunda, pero sen riscos. É posible conseguilo?

Neste exemplo, a diferenza da solicitude de préstamo, agora non temos falta de diñeiro, pero dado que o día no que imos ter que utilizar o diñeiro está lonxe, gustaríanos idear una estratexia adecuada paira non perder os beneficios que pode ofrecer o mercado, mantendo a garantía que temos agora paira facer fronte ao pago.

Aínda que pareza sorprendente, hai produtos financeiros como este e cada vez máis. Estes stocks ópticos, tan citados ultimamente nos medios de comunicación, non son máis que o dereito a adquirir accións a un prezo prefijado en datas determinadas. Denomínanse opcións europeas cando se debe decidir si vaise a levar a cabo ou non no día antes mencionado e si é posible que os americanos leven a cabo en calquera momento até o último día.

O papel das matemáticas

Pongámonos agora alén, á beira do vendedor de produtos. Si o cliente fainos una proposta como os anteriores, nós asumimos o risco que perde. A cambio pedirémoslle que pague a curmá tal e como solicitan as aseguradoras. Canto hai que cobrar? A cuestión é medir, valorar e pór prezo. Ademais o prezo debe ser aceptado por ambas as partes.

Aquí aparece Matemáticas. Do mesmo xeito que noutras ciencias, é necesario elaborar un modelo matemático. Determinar cales son as variables significativas, establecer relacións entre elas e escribir una ecuación; o camiño da modelización é o seguinte.

Con todo, o modelo que se elabora non serve paira predicir a realidade. En física, por exemplo, coñecendo as ecuacións da descrición do movemento e os datos de hoxe, podemos saber onde estará a Lúa dentro de oito meses e cal será o percorrido do foguete que emitimos desde a Terra, e si facemos ben os cálculos, podemos conseguir que o foguete se atope na lúa no día prefijado (a condición de que sexa posible superar barreiras técnicas).

En economía as Matemáticas non o fan. Quede claro, por tanto, que non hai un modelo de previsión da evolución bolsista dentro de oito meses. Non é posible determinar a actitude dos investidores. Imaxinastes algunha vez desde a televisión que pasaría si fixesen o prognóstico "científico" da Bolsa como nos anuncian o tempo? As ecuacións matemáticas anunciarían a baixada dalgunhas accións paira mañá, os investidores vendelas á rampla e converterían o que había que ser un pequeno descenso nunha enorme cantidade, negando o devandito polas ecuacións.

Nos produtos financeiros a función das Matemáticas non é predicir, senón valorar. Ter en conta todas as opcións (dentro dos límites que pode ter dicir "todas"), pór en valor a probabilidade de cada una delas, decidir os valores dos parámetros e extraer finalmente un número do modelo necesario que debemos pedir ao cliente. Cando o comprador non aproveita a oportunidade, a curmá gáñase, pero si non, nós temos que cubrir a diferenza entre o mercado e o prezo preestablecido. Paira non ir ao desastre é imprescindible saber valoralo ben.

Historial de valoración

XVIII. A finais do século XX Daniel Bernoulli escribiu un artigo sobre a medida do risco, utilizando o concepto de varianza que se utiliza na Estatística. En 1900 o francés Louis Bachelier presentou en París a súa tese doutoral titulada Thžorie da SpŽculation. Dirixiu o prestixioso Henri Poincarn. Ao parecer, o tema non era do agrado de Poincarés e durante moitos anos a obra de Bachelier quedou descoñecida. Propuxo un movemento browniano paira a evolución dos prezos dos activos, concepto que xorde en Bioloxía na tese de Bachelier antes do seu uso en Física e Matemáticas por Einstein.

Os libros publicados en 1947 e 1948 polo prestixioso economista Paul Samuelson convertéronse nun alicerce básico paira a Economía. En opinión de Samuelson, sen perder tempo nas palabras e nos exercicios mentais, os economistas tiñan que buscar a luz polo camiño das Matemáticas, non porque as Matemáticas darían a solución a todos os problemas, senón porque era a base paira entender a situación. Na década dos 60 introduciu un cambio no modelo de Bachelier, facendo que o movemento browniano non se refira aos beneficios dos activos senón aos prezos. Samuelson recibiu o Premio Nobel en 1970; o profesor Lindbeck comezou a súa presentación da seguinte maneira: "Una das principais características da evolución económica das últimas décadas é o crecente grao de formalización das técnicas analíticas, moitas veces con métodos matemáticos".

Anos despois produciuse un profundo cambio, a fórmula de Black-Scholes, tan famosa paira os economistas. O primeiro mercado de derivados financeiros de Chicago iniciouse o mesmo ano 1973 (os citados produtos denomínanse derivados por depender da evolución doutros). A aplicación desta fórmula e doutros recursos ofrecidos pola Economía Matemática no mercado non tardou en entrar en vigor, o que supuxo nos últimos anos un espectacular crecemento do mercado de derivados. Naceron en España en 1990: En Barcelona de renda fixa e en Madrid de renda variable, porque estes derivados tamén se venden e cómpranse no mercado, só hai que mirar nas páxinas económicas das revistas de verificación.

Tres economistas están vinculados á nova formulación: Fischer Black e Robert Merton de Estados Unidos e Myron Scholes de Canadá. Os dous últimos recibiron o Premio Nobel en 1997, salvo que o Black morrese dous anos antes. Robert Merton adquiriu una sólida formación matemática e entrou no Instituto de Tecnoloxía de California en 1966 coa intención de doctorarse en Matemática Aplicada, pero un ano despois decidiu pasar a Economía, foi aceptado no MIT e, sendo aínda moi novo, converteuse en colaborador de Samuelson. Alí reuniuse con Black e Scholes. Black empezou en Física, se doctoró en Matemática aplicada e terminou en Economía. A traxectoria académica de Scholes estivo máis preto da Economía, pero cando empezou a realizar a tese, tivo que traballar tamén en computación na Universidade de Chicago.

O tres traballaron no problema de pór prezo aos produtos derivados. Valéndose dunhas ideas básicas foron capaces de escribir una ecuación das derivadas parciais, resolvendo a ecuación e extraendo a fórmula de Black-Scholes. O artigo titulado "The pricing of options and corporate liabilities" (1973) é un dos máis citados na literatura científica. Merton ideou una nova vía paira sacar a fórmula nun traballo escrito no mesmo ano e axilizar algunhas hipóteses. Foi moi importante tentar introducir algunhas ideas na formulación, xa que permiten obter probabilidades obxectivas en lugar dos datos dubidosos do futuro, que aínda que non son reais, o resultado final é o mesmo. Así mesmo, resultou decisivo recoñecer que o mercado tende ao equilibrio e exclúe en por si una situación coñecida como arbitraxe (obtención de ingresos).