Funcións continuas pero non derivables: curiosidade matemática ou reflexo da realidade?
En matemáticas, ao pensar en funcións, o máis habitual é concibir exemplos sinxelos como polinomios, funcións racionais, seo e coseno ou exponencial e logaritmo, entre outros. Todos eles teñen un excelente comportamento matemático. Pero tamén hai outros que son máis complicados... e que serven para describir a realidade!
A análise matemática é un campo fundamental da matemática que estuda basicamente os números e as súas relacións. Entre estas relacións, as funcións son de gran importancia. Os números sonnos suficientemente coñecidos, pero que é unha función? Pois non é máis que unha regra que asigna outro número a un número. Aínda que é un concepto sinxelo, son unha ferramenta fundamental das matemáticas e a ciencia. A velocidade dun satélite, o número de persoas infectadas por unha enfermidade, as fluctuaciones bolsistas, a temperatura que teremos mañá… En xeral, mediante unha función represéntase calquera variable de valor numérico.
O máis habitual é chamar a unha función xeral que asigna outro número a calquera número. Poñamos un exemplo. Esta función asigna a calquera número o seu dobre: ao número e ao número . Tamén podemos definir o cadrado, o inverso, o seo ou o exponencial. Estas funcións son moi comúns e útiles. Por exemplo, as ondas de son e radio teñen forma de seo, e o crecemento das poboacións é exponencial. Estas funcións teñen enormes propiedades matemáticas: son continuas e pódense derivar tantas veces como se queira.
Representación de funcións: grafos
Unha maneira sinxela de captar estas propiedades é representar as funcións a través do grafo (ver figura 1). Debúxanse no plano e eixos perpendiculares e trázanse puntos con coordenadas. O resultado é unha curva e a cada función correspóndelle unha curva diferente. como se mostra na figura 2, a función ten unha liña recta, é unha parábola e unha hipérbola.
O grafo dunha función mostra claramente algunhas das propiedades da función. Unha función continua si a curva arrepentida non se interrompe. Os valores destas funcións cambian sen saltos. Por exemplo, as funcións da figura 2 son continuas. En caso contrario, dise que a función é descontinua (ver figura 3).
Outra propiedade importante das funcións é a derivabilidad. A función é derivable (ou diferencial) si o seu grafo ten un aspecto suave, si non ten esquina. Os valores destas funcións non presentan un cambio brusco de tendencia. Por exemplo, os grafos da figura 2 son suaves e corresponden a funcións derivables, pero o grafo da figura 4 contén dúas esquinas, polo que esta función non é derivable.
Moitas veces, máis que de forma global, estúdase a continuidade e a derivabilidad dunha función por puntos ou intervalos. De feito, unha función pode ser continua ou derivable nuns puntos e noutro non, como se mostra na figura 5.
Estas dúas propiedades están unidas por unha relación fundamental, xa que unha función derivable é sempre continua. Por suposto, unha curva suave non ten saltos, un salto rompería a suavidade Pero que dicir pola contra? As funcións continuas son necesariamente derivables?
Funcións continuas pero non derivables
Naturalmente, a resposta é que non. A función pode ser continua sen derivar, xa que un grafo continuo pode ter esquinas. na figura 4 móstrase un exemplo diso. É máis, podemos debuxar facilmente unha curva con tantas esquinas como queiramos, como se mostra na figura 6.
Tentaremos facer un pouco máis. É posible que unha curva continua teña esquinas en todos os puntos? A intuición, ou a mera tentativa, négase. Pero que estraña pregunta! Máis dun pensará si ten sentido. Este foi un dos principais quebradizos de cabeza dos matemáticos do século XIX. Naquela época, os fundamentos teóricos das matemáticas aínda non estaban plenamente establecidos e tiñan que definir os conceptos con coidado para non crear contradicións. En canto a esta pregunta, a maioría dos enquisados consideraban que era imposible facer un grafo así. Dito na linguaxe matemática, non se podía crear unha función continua que non fose do que se derivaba.
A metade das conxecturas son falsas. En palabras de Karl Weierstrass [W], na década de 1860, Bernhard Riemann propuxo unha función continua exótica e dixo que non tiña ningunha derivada en ningures. A función ten a seguinte forma:
Vale, é máis complicado que a inicial. Pero, non será estraña a función que ten unhas propiedades raras? Para empezar, o resultado desa suma infinita é sempre un número finito, calquera que sexa. De feito, o seo de calquera número é sempre menor que 1, e Leonhard Euler demostrou en 1735 que é o resultado da suma de cadrados investidos. Tampouco era difícil demostrar a continuidade da función. En canto á derivabilidad, ninguén puido probar o que dixo Riemann. Foi un misterio até 1970 [G].
Cen anos! Esta función non é unha tose de media noite da cabra. O seu nome é unha función non diferenciable de Riemann e, como se imaxinará, é case imposible debuxar a súa grafo a man. Menos mal que temos ordenadores a man! Ver Figuras 7 e 8. É curioso. En sentido estrito, a función de Riemann non ten practicamente ningunha derivada, xa que no centro do grafo, na coordenada, fórmase unha liña recta. Aquí a función ten unha derivada, pero en ningún outro lugar.
A función de Riemann deu comezo á carreira de funcións continuas e non derivables. Propúxose moito, pero moitos matemáticos opuxéronse, dicindo que non tiñan sentido. Henri Poincaré, por exemplo, dixo: “Estas funcións parecen ter por obxecto o menor parecido posible ás funcións que serven para algo” [P]. Pero cada vez producíanse máis exemplos, e especialmente despois do desenvolvemento do movemento browniano, as funcións continuas e non derivables foron totalmente aceptadas. Posteriormente, na década de 1970, Benoît Mandelbrot propuxo fractales co obxectivo de unificar todas estas funcións, pensando que poderían axudar a describir os feitos naturais. E é que, nas súas palabras, “as nubes non son esferas, as montañas non son conos, as costas non son círculos e a superficie das árbores non é suave. Os raios tampouco se propagan en liña recta”[M, 1. pag. ]. Non lle falta razón.
A función de Riemann na natureza
En realidade, o que aparece de forma física é unha versión da función de Riemann, que é
Nesta expresión aparecen os números complexos que se forman coa unidade complexa. Hoxe non imos falar deles, pero está claro que esta nova función ten a mesma estrutura matemática que a función non diferencial de Riemann. A súa representación móstrase na Figura 11.
De forma sorprendente, os profesores da UPV Da Fouce e Veiga mostraron que esta función aparece no movemento de aneis de fume [H-V]. Todos sabemos como se propagan os aneis de fume: cando un fumador crea un destes, o fume mantén un aspecto circular mentres viaxa, polo menos nun principio. Pero que ocorre si o anel ten forma de triángulo ou de cadro? Non é unha situación rara, xa que na industria utilízanse tubos triangulares e cadrados. Este experimento foi realizado por Kleckner, Scheeler e Irvin cun anel trevo [K-S-I]. É moi recomendable ver o vídeo do seu artigo, xa que o resultado que mostran é espectacular: o trevo colócase primeiro boca abaixo, logo de novo boca arriba, e así sucesivamente. 12. Na imaxe móstrase a simulación matemática correspondente ao triángulo e prodúcese o mesmo que o trevo no experimento real. O vídeo desta simulación https://sites.google.com/view/skumar1712/simulation-vídeos está dispoñible na páxina web [K].
na mesma figura 12, debuxada en azul, móstrase o percorrido dunha esquina do triángulo. Comparada coa curva da Figura 11, ten un parecido extraordinario coa función de Riemann! Isto demostra que a función de Riemann ten unha estrutura física e xeométrica propia, xa que aparece nun experimento natural.
Estudo xeométrico da función de Riemann
A función de Riemann indica unha traxectoria física, polo que é importante analizar as súas propiedades xeométricas e físicas. Este foi o eixo da miña tese doutoral [E1]. De entre as preguntas analizadas, destacaría: é posible calcular a velocidade e a dirección da partícula en todos os puntos se se toma unha partícula que siga este percorrido? O resultado é negativo debido a que a función de Riemann non é derivable [E2]. Pero, doutra banda, a partícula móvese cunha velocidade e unha dirección media. Non é sorprendente? Por citar outros resultados, as posibilidades de que Hausdorff teña unha dimensión 4/3 son moi grandes [E3], e ademais, desde o punto de vista da teoría da turbulencia, o percorrido é intermitente [B-E-V].
Hai unha chea de preguntas matemáticas que se poden formular sobre a función de Riemann, as funcións non derivables e as fractales en xeral, e todas teñen un gran potencial para describir os feitos naturais. Velaquí un magnífico exemplo do traballo de moitos matemáticos teóricos, moitas veces misteriosos e descoñecidos!
--------------------------
IMAXES
Salvo que se indique o contrario, as imaxes son creadas polo autor do artigo.
--------------------------
BIBLIOGRAFÍA
[B-E-V] A. Boritchev, D. Eceizabarrena, V. A Rocha é Vilaça. Riemann's non-differentiable function is intermittent. Preprinta (2019), arXiv:1910.13191, https://arxiv.org/abs/1910.13191
[E1] D. Eceizabarrena. A geometric and physical study of Riemann’s non-differentiable function. Tese Doutoral (2020), Universidade do País Vasco (UPV/EHU). https://addi.ehu.é/handle/10810/49901
[E2] D. Eceizabarrena. Geometric differentiability of Riemann’s non-differentiable function. Adv. Math. 366 (2020), 107091. https://doi.org/10.1016/j.aim.2020.107091
[E3] D. Eceizabarrena. On the Hausdorff dimension of Riemann’s non-differentiable function. Aprobado na revista Transactions of the American Mathematical Society. Preprint: https://arxiv.org/abs/1910.02530
[G] J. Gerver. The differentiability of the Riemann function at certain rational multiples of . Amer. J. Math. 92 (1970), 33-55. https://doi.org/10.2307/2373496
[H-V] F. da Fouce, L. Veiga. Vortex filament equation for a regular polygon. Nonlinearity 27 (2014), 3031–3057. https://doi.org/10.1088/0951-7715/27/12/3031
[K-S-I] D. Kleckner, M. O doutor W. Scheeler, W. T. M. Irvine. The life of a vortex knot. Phys! Fluids 26 (2014), 091105. https://doi.org/10.1063/1.4893590
[K] S. Kumar. Páxina Web. https://sites.google.com/view/skumar1712/simulation-vídeos
[M] B. Mandelbrot. The fractal geometry of nature. O doutor W. H. Freeman and Co., San Francisco, Calif., 1982.
[P] H Poincaré. A logique et l’intuition dans a science mathématique et l’enseignement. Enseign. Math. 1 (1899), 157-162.
https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=ens-001:1899:1#309
[W] Karl Weierstrass. Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für en Werth deas letzteren einmten Differentialquotient. Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2. 1895, 71-74.
Buletina
Bidali zure helbide elektronikoa eta jaso asteroko buletina zure sarrera-ontzian