Funciones continuas pero no derivables: ¿curiosidad matemática o reflejo de la realidad?
En matemáticas, al pensar en funciones, lo más habitual es concebir ejemplos sencillos como polinomios, funciones racionales, seno y coseno o exponencial y logaritmo, entre otros. Todos ellos tienen un excelente comportamiento matemático. Pero también hay otros que son más complicados... ¡y que sirven para describir la realidad!
El análisis matemático es un campo fundamental de la matemática que estudia básicamente los números y sus relaciones. Entre estas relaciones, las funciones son de gran importancia. Los números nos son suficientemente conocidos, pero ¿qué es una función? Pues no es más que una regla que asigna otro número a un número. Aunque es un concepto sencillo, son una herramienta fundamental de las matemáticas y la ciencia. La velocidad de un satélite, el número de personas infectadas por una enfermedad, las fluctuaciones bursátiles, la temperatura que tendremos mañana… En general, mediante una función se representa cualquier variable de valor numérico.
Lo más habitual es llamar a una función general que asigna otro número a cualquier número. Pongamos un ejemplo. Esta función asigna a cualquier número su doble: al número y al número . También podemos definir el cuadrado, el inverso, el seno o el exponencial. Estas funciones son muy comunes y útiles. Por ejemplo, las ondas de sonido y radio tienen forma de seno, y el crecimiento de las poblaciones es exponencial. Estas funciones tienen enormes propiedades matemáticas: son continuas y se pueden derivar tantas veces como se quiera.
Representación de funciones: grafos
Una manera sencilla de captar estas propiedades es representar las funciones a través del grafo (ver figura 1). Se dibujan en el plano y ejes perpendiculares y se trazan puntos con coordenadas. El resultado es una curva y a cada función le corresponde una curva diferente. como se muestra en la figura 2, la función tiene una línea recta, es una parábola y una hipérbola.
El grafo de una función muestra claramente algunas de las propiedades de la función. Una función continua si la curva arrepentida no se interrumpe. Los valores de estas funciones cambian sin saltos. Por ejemplo, las funciones de la figura 2 son continuas. En caso contrario, se dice que la función es discontinua (ver figura 3).
Otra propiedad importante de las funciones es la derivabilidad. La función es derivable (o diferencial) si su grafo tiene un aspecto suave, si no tiene esquina. Los valores de estas funciones no presentan un cambio brusco de tendencia. Por ejemplo, los grafos de la figura 2 son suaves y corresponden a funciones derivables, pero el grafo de la figura 4 contiene dos esquinas, por lo que esta función no es derivable.
Muchas veces, más que de forma global, se estudia la continuidad y la derivabilidad de una función por puntos o intervalos. De hecho, una función puede ser continua o derivable en unos puntos y en otros no, como se muestra en la figura 5.
Estas dos propiedades están unidas por una relación fundamental, ya que una función derivable es siempre continua. Por supuesto, una curva suave no tiene saltos, un salto rompería la suavidad Pero ¿qué decir de lo contrario? ¿Las funciones continuas son necesariamente derivables?
Funciones continuas pero no derivables
Naturalmente, la respuesta es que no. La función puede ser continua sin derivar, ya que un grafo continuo puede tener esquinas. en la figura 4 se muestra un ejemplo de ello. Es más, podemos dibujar fácilmente una curva con tantas esquinas como queramos, como se muestra en la figura 6.
Intentaremos hacer un poco más. ¿Es posible que una curva continua tenga esquinas en todos los puntos? La intuición, o la mera tentativa, se niega. ¡Pero qué extraña pregunta! Más de uno pensará si tiene sentido. Este fue uno de los principales quebraderos de cabeza de los matemáticos del siglo XIX. En aquella época, los fundamentos teóricos de las matemáticas aún no estaban plenamente establecidos y tenían que definir los conceptos con cuidado para no crear contradicciones. En cuanto a esta pregunta, la mayoría de los encuestados consideraban que era imposible hacer un grafo así. Dicho en el lenguaje matemático, no se podía crear una función continua que no fuera de lo que se derivaba.
La mitad de las conjeturas son falsas. En palabras de Karl Weierstrass [W], en la década de 1860, Bernhard Riemann propuso una función continua exótica y dijo que no tenía ninguna derivada en ninguna parte. La función tiene la siguiente forma:
Vale, es más complicado que el inicial. Pero, ¿no será extraña la función que tiene unas propiedades raras? Para empezar, el resultado de esa suma infinita es siempre un número finito, cualquiera que sea. De hecho, el seno de cualquier número es siempre menor que 1, y Leonhard Euler demostró en 1735 que es el resultado de la suma de cuadrados invertidos. Tampoco era difícil demostrar la continuidad de la función. En cuanto a la derivabilidad, nadie pudo probar lo que dijo Riemann. Fue un misterio hasta 1970 [G].
¡Cien años! Esta función no es una tos de media noche de la cabra. Su nombre es una función no diferenciable de Riemann y, como se imaginará, es casi imposible dibujar su grafo a mano. ¡Menos mal que tenemos ordenadores a mano! Ver Figuras 7 y 8. Es curioso. En sentido estricto, la función de Riemann no tiene prácticamente ninguna derivada, ya que en el centro del grafo, en el coordenada, se forma una línea recta. Aquí la función tiene una derivada, pero en ningún otro lugar.
La función de Riemann dio comienzo a la carrera de funciones continuas y no derivables. Se propuso mucho, pero muchos matemáticos se opusieron, diciendo que no tenían sentido. Henri Poincaré, por ejemplo, dijo: “Estas funciones parecen tener por objeto el menor parecido posible a las funciones que sirven para algo” [P]. Pero cada vez se producían más ejemplos, y especialmente después del desarrollo del movimiento browniano, las funciones continuas y no derivables fueron totalmente aceptadas. Posteriormente, en la década de 1970, Benoît Mandelbrot propuso fractales con el objetivo de unificar todas estas funciones, pensando que podrían ayudar a describir los hechos naturales. Y es que, en sus palabras, “las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos y la superficie de los árboles no es suave. Los rayos tampoco se propagan en línea recta”[M, 1. pag. ]. No le falta razón.
La función de Riemann en la naturaleza
En realidad, lo que aparece de forma física es una versión de la función de Riemann, que es
En esta expresión aparecen los números complejos que se forman con la unidad compleja. Hoy no vamos a hablar de ellos, pero está claro que esta nueva función tiene la misma estructura matemática que la función no diferencial de Riemann. Su representación se muestra en la Figura 11.
De forma sorprendente, los profesores de la UPV De la Hoz y Vega mostraron que esta función aparece en el movimiento de anillos de humo [H-V]. Todos sabemos cómo se propagan los anillos de humo: cuando un fumador crea uno de estos, el humo mantiene un aspecto circular mientras viaja, al menos en un principio. ¿Pero qué ocurre si el anillo tiene forma de triángulo o de cuadro? No es una situación rara, ya que en la industria se utilizan tubos triangulares y cuadrados. Este experimento fue realizado por Kleckner, Scheeler e Irvin con un anillo trébol [K-S-I]. Es muy recomendable ver el vídeo de su artículo, ya que el resultado que muestran es espectacular: el trébol se coloca primero boca abajo, luego de nuevo boca arriba, y así sucesivamente. 12. En la imagen se muestra la simulación matemática correspondiente al triángulo y se produce lo mismo que el trébol en el experimento real. El vídeo de esta simulación https://sites.google.com/view/skumar1712/simulation-videos está disponible en la página web [K].
en la misma figura 12, dibujada en azul, se muestra el recorrido de una esquina del triángulo. ¡Comparada con la curva de la Figura 11, tiene un parecido extraordinario con la función de Riemann! Esto demuestra que la función de Riemann tiene una estructura física y geométrica propia, ya que aparece en un experimento natural.
Estudio geométrico de la función de Riemann
La función de Riemann indica una trayectoria física, por lo que es importante analizar sus propiedades geométricas y físicas. Este ha sido el eje de mi tesis doctoral [E1]. De entre las preguntas analizadas, destacaría: ¿es posible calcular la velocidad y la dirección de la partícula en todos los puntos si se toma una partícula que siga este recorrido? El resultado es negativo debido a que la función de Riemann no es derivable [E2]. Pero, por otro lado, la partícula se mueve con una velocidad y una dirección media. ¿No es sorprendente? Por citar otros resultados, las posibilidades de que Hausdorff tenga una dimensión 4/3 son muy grandes [E3], y además, desde el punto de vista de la teoría de la turbulencia, el recorrido es intermitente [B-E-V].
Hay un montón de preguntas matemáticas que se pueden formular sobre la función de Riemann, las funciones no derivables y las fractales en general, y todas tienen un gran potencial para describir los hechos naturales. ¡He aquí un magnífico ejemplo del trabajo de muchos matemáticos teóricos, muchas veces misteriosos y desconocidos!
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IMÁGENES
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BIBLIOGRAFÍA
[B-E-V] A. Boritchev, D. Eceizabarrena, V. La Rocha es Vilaça. Riemann's non-differentiable function is intermittent. Preprinta (2019), arXiv:1910.13191, https://arxiv.org/abs/1910.13191
[E1] D. Eceizabarrena. A geometric and physical study of Riemann’s non-differentiable function. Tesis Doctoral (2020), Universidad del País Vasco (UPV/EHU). https://addi.ehu.es/handle/10810/49901
[E2] D. Eceizabarrena. Geometric differentiability of Riemann’s non-differentiable function. Adv. Math. 366 (2020), 107091. https://doi.org/10.1016/j.aim.2020.107091
[E3] D. Eceizabarrena. On the Hausdorff dimension of Riemann’s non-differentiable function. Aprobado en la revista Transactions of the American Mathematical Society. Preprint: https://arxiv.org/abs/1910.02530
[G] J. Gerver. The differentiability of the Riemann function at certain rational multiples of . Amer. J. Math. 92 (1970), 33-55. https://doi.org/10.2307/2373496
[H-V] F. de la Hoz, L. Vega. Vortex filament equation for a regular polygon. Nonlinearity 27 (2014), 3031–3057. https://doi.org/10.1088/0951-7715/27/12/3031
[K-S-I] D. Kleckner, M. El doctor W. Scheeler, W. T. M. Irvine. The life of a vortex knot. ¡Phys! Fluids 26 (2014), 091105. https://doi.org/10.1063/1.4893590
[K] S. Kumar. Página Web. https://sites.google.com/view/skumar1712/simulation-videos
[M] B. Mandelbrot. The fractal geometry of nature. El doctor W. H. Freeman and Co., San Francisco, Calif., 1982.
[P] H Poincaré. La logique et l’intuition dans la science mathématique et l’enseignement. Enseign. Math. 1 (1899), 157-162.
https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=ens-001:1899:1#309
[W] Karl Weierstrass. Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für en Werth des letzteren einmten Differentialquotient. Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2. 1895, 71-74.
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