Funcions contínues però no derivables: curiositat matemàtica o reflex de la realitat?
En matemàtiques, en pensar en funcions, el més habitual és concebre exemples senzills com a polinomis, funcions racionals, si i cosinus o exponencial i logaritme, entre altres. Tots ells tenen un excel·lent comportament matemàtic. Però també hi ha uns altres que són més complicats... i que serveixen per a descriure la realitat!
L'anàlisi matemàtica és un camp fonamental de la matemàtica que estudia bàsicament els números i les seves relacions. Entre aquestes relacions, les funcions són de gran importància. Els números ens són prou coneguts, però què és una funció? Perquè no és més que una regla que assigna un altre número a un número. Encara que és un concepte senzill, són una eina fonamental de les matemàtiques i la ciència. La velocitat d'un satèl·lit, el nombre de persones infectades per una malaltia, les fluctuacions borsàries, la temperatura que tindrem demà… En general, mitjançant una funció es representa qualsevol variable de valor numèric.
El més habitual és cridar a una funció general que assigna un altre número a qualsevol número. Posem un exemple. Aquesta funció assigna a qualsevol número el seu doble: al número i al número . També podem definir el quadrat, l'invers, el si o l'exponencial. Aquestes funcions són molt comunes i útils. Per exemple, les ones de so i ràdio tenen forma de si, i el creixement de les poblacions és exponencial. Aquestes funcions tenen enormes propietats matemàtiques: són contínues i es poden derivar tantes vegades com es vulgui.
Representació de funcions: grafs
Una manera senzilla de captar aquestes propietats és representar les funcions a través del graf (veure figura 1). Es dibuixen en el pla i eixos perpendiculars i es tracen punts amb coordenades. El resultat és una corba i a cada funció li correspon una corba diferent. com es mostra en la figura 2, la funció té una línia recta, és una paràbola i una hipèrbola.
El graf d'una funció mostra clarament algunes de les propietats de la funció. Una funció contínua si la corba penedida no s'interromp. Els valors d'aquestes funcions canvien sense salts. Per exemple, les funcions de la figura 2 són contínues. En cas contrari, es diu que la funció és discontínua (veure figura 3).
Una altra propietat important de les funcions és la derivabilitat. La funció és derivable (o diferencial) si el seu graf té un aspecte suau, si no té cantonada. Els valors d'aquestes funcions no presenten un canvi brusc de tendència. Per exemple, els grafs de la figura 2 són suaus i corresponen a funcions derivables, però el graf de la figura 4 conté dues cantonades, per la qual cosa aquesta funció no és derivable.
Moltes vegades, més que de manera global, s'estudia la continuïtat i la derivabilitat d'una funció per punts o intervals. De fet, una funció pot ser contínua o derivable en uns punts i en uns altres no, com es mostra en la figura 5.
Aquestes dues propietats estan unides per una relació fonamental, ja que una funció derivable és sempre contínua. Per descomptat, una corba suau no té salts, un salt trencaria la suavitat Però què dir en cas contrari? Les funcions contínues són necessàriament derivables?
Funcions contínues però no derivables
Naturalment, la resposta és que no. La funció pot ser contínua sense derivar, ja que un graf continu pot tenir cantonades. en la figura 4 es mostra un exemple d'això. És més, podem dibuixar fàcilment una corba amb tantes cantonades com vulguem, com es mostra en la figura 6.
Intentarem fer una mica més. És possible que una corba contínua tingui cantonades en tots els punts? La intuïció, o la mera temptativa, es nega. Però quina estranya pregunta! Més d'un pensarà si té sentit. Aquest va ser un dels principals maldecaps dels matemàtics del segle XIX. En aquella època, els fonaments teòrics de les matemàtiques encara no estaven plenament establerts i havien de definir els conceptes amb cura per a no crear contradiccions. Quant a aquesta pregunta, la majoria dels enquestats consideraven que era impossible fer un graf així. Dit en el llenguatge matemàtic, no es podia crear una funció contínua que no fos del que es derivava.
La meitat de les conjectures són falses. En paraules de Karl Weierstrass [W], en la dècada de 1860, Bernhard Riemann va proposar una funció contínua exòtica i va dir que no tenia cap derivada enlloc. La funció té la següent forma:
Val, és més complicat que l'inicial. Però, no serà estranya la funció que té unes propietats rares? Per a començar, el resultat d'aquesta suma infinita és sempre un número finit, qualsevol que sigui. De fet, el si de qualsevol número és sempre menor que 1, i Leonhard Euler va demostrar en 1735 que és el resultat de la suma de quadrats invertits. Tampoc era difícil demostrar la continuïtat de la funció. Quant a la derivabilitat, ningú va poder provar el que va dir Riemann. Va ser un misteri fins a 1970 [G].
Cent anys! Aquesta funció no és una tos de mitjanit de la cabra. El seu nom és una funció no diferenciable de Riemann i, com s'imaginarà, és gairebé impossible dibuixar el seu graf a mà. Encara sort que tenim ordinadors a mà! Veure Figures 7 i 8. És curiós. En sentit estricte, la funció de Riemann no té pràcticament cap derivada, ja que en el centre del graf, en el coordenada, es forma una línia recta. Aquí la funció té una derivada, però en cap altre lloc.
La funció de Riemann va donar principi a la carrera de funcions contínues i no derivables. Es va proposar molt, però molts matemàtics es van oposar, dient que no tenien sentit. Henri Poincaré, per exemple, va dir: “Aquestes funcions semblen tenir per objecte el menor semblant possible a les funcions que serveixen per a alguna cosa” [P]. Però cada vegada es produïen més exemples, i especialment després del desenvolupament del moviment browniano, les funcions contínues i no derivables van ser totalment acceptades. Posteriorment, en la dècada de 1970, Benoît Mandelbrot va proposar fractals amb l'objectiu d'unificar totes aquestes funcions, pensant que podrien ajudar a descriure els fets naturals. I és que, en les seves paraules, “els núvols no són esferes, les muntanyes no són cons, les costes no són cercles i la superfície dels arbres no és suau. Els raigs tampoc es propaguen en línia recta”[M, 1. pag. ]. No li falta raó.
La funció de Riemann en la naturalesa
En realitat, el que apareix de manera física és una versió de la funció de Riemann, que és
En aquesta expressió apareixen els nombres complexos que es formen amb la unitat complexa. Avui no parlarem d'ells, però és clar que aquesta nova funció té la mateixa estructura matemàtica que la funció no diferencial de Riemann. La seva representació es mostra en la Figura 11.
De manera sorprenent, els professors de la UPV De la Falç i Vega van mostrar que aquesta funció apareix en el moviment d'anells de fum [H-V]. Tots sabem com es propaguen els anells de fum: quan un fumador crea un d'aquests, el fum manté un aspecte circular mentre viatja, almenys en un principi. Però què ocorre si l'anell té forma de triangle o de quadre? No és una situació rara, ja que en la indústria s'utilitzen tubs triangulars i quadrats. Aquest experiment va ser realitzat per Kleckner, Scheeler i Irvin amb un anell trèvol [K-S-I]. És molt recomanable veure el vídeo del seu article, ja que el resultat que mostren és espectacular: el trèvol es col·loca primer boca avall, després de nou boca amunt, i així successivament. 12. En la imatge es mostra la simulació matemàtica corresponent al triangle i es produeix el mateix que el trèvol en l'experiment real. El vídeo d'aquesta simulació https://sites.google.com/view/skumar1712/simulation-videos està disponible en la pàgina web [K].
en la mateixa figura 12, dibuixada en blava, es mostra el recorregut d'una cantonada del triangle. Comparada amb la corba de la Figura 11, té una semblança extraordinària amb la funció de Riemann! Això demostra que la funció de Riemann té una estructura física i geomètrica pròpia, ja que apareix en un experiment natural.
Estudi geomètric de la funció de Riemann
La funció de Riemann indica una trajectòria física, per la qual cosa és important analitzar les seves propietats geomètriques i físiques. Aquest ha estat l'eix de la meva tesi doctoral [E1]. D'entre les preguntes analitzades, destacaria: és possible calcular la velocitat i la direcció de la partícula en tots els punts si es pren una partícula que segueixi aquest recorregut? El resultat és negatiu pel fet que la funció de Riemann no és derivable [E2]. Però, d'altra banda, la partícula es mou amb una velocitat i una direcció mitjana. No és sorprenent? Per citar altres resultats, les possibilitats que Hausdorff tingui una dimensió 4/3 són molt grans [E3], i a més, des del punt de vista de la teoria de la turbulència, el recorregut és intermitent [B-E-V].
Hi ha un munt de preguntes matemàtiques que es poden formular sobre la funció de Riemann, les funcions no derivables i les fractals en general, i totes tenen un gran potencial per a descriure els fets naturals. Heus aquí un magnífic exemple del treball de molts matemàtics teòrics, moltes vegades misteriosos i desconeguts!
--------------------------
IMATGES
Tret que s'indiqui el contrari, les imatges són creades per l'autor de l'article.
--------------------------
BIBLIOGRAFIA
[B-E-V] A. Boritchev, D. Eceizabarrena, V. La Rocha és Vilaça. Riemann's senar-differentiable function is intermittent. Preprinta (2019), arXiv:1910.13191, https://arxiv.org/abs/1910.13191
[E1] D. Eceizabarrena. A geometric and physical study of Riemann’s senar-differentiable function. Tesi Doctoral (2020), Universitat del País Basc (UPV/EHU). https://addi.ehu.es/handle/10810/49901
[E2] D. Eceizabarrena. Geometric differentiability of Riemann’s senar-differentiable function. Adv. Math. 366 (2020), 107091. https://doi.org/10.1016/j.aim.2020.107091
[E3] D. Eceizabarrena. On the Hausdorff dimension of Riemann’s senar-differentiable function. Aprovat en la revista Transactions of the American Mathematical Society. Preprint: https://arxiv.org/abs/1910.02530
[G] J. Gerver. The differentiability of the Riemann function at certain rational multiples of . Amer. J. Math. 92 (1970), 33-55. https://doi.org/10.2307/2373496
[H-V] F. de la Falç, L. Vega. Vortex filament equation for a regular polygon. Nonlinearity 27 (2014), 3031–3057. https://doi.org/10.1088/0951-7715/27/12/3031
[K-S-I] D. Kleckner, M. El doctor W. Scheeler, W. T. M. Irvine. The life of a vortex knot. Phys! Fluids 26 (2014), 091105. https://doi.org/10.1063/1.4893590
[K] S. Kumar. Pàgina Web. https://sites.google.com/view/skumar1712/simulation-videos
[M] B. Mandelbrot. The fractal geometry of nature. El doctor W. H. Freeman and Co., San Francisco, Qualif., 1982.
[P] H Poincaré. La logique et l’intuition dans la science mathématique et l’enseignement. Enseign. Math. 1 (1899), 157-162.
https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=ens-001:1899:1#309
[W] Karl Weierstrass. Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für en Werth donis letzteren einmten Differentialquotient. Mathematische Werke. II. Abhandlungen 2. 1895, 71-74.
Buletina
Bidali zure helbide elektronikoa eta jaso asteroko buletina zure sarrera-ontzian