La nota más famosa del borde

1993/02/01 Angulo, Patxi Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

El resultado más conocido que se le atribuye a Pitágoras o a su escuela es la fórmula que une los catetos de triángulos rectos con el hipotenus, el conocido Teorema de Pitágoras: “la suma de cuadrados encadenados en triángulos rectos es igual al cuadrado de la hipotenusa”. Los resultados egipcios y babilónicos lo conocían y usaban hace tiempo.

Pero mientras ellos lo utilizaban para resolver problemas particulares (es decir, sólo sabían que en algunos casos se cumplía), los griegos establecieron que la igualdad era útil para todos los casos. Pitágoras estuvo mucho tiempo en Fenicia y Egipto. No sería de extrañar, por tanto, que aprendiera de los teoremas babilónicos y egipcios. Por ejemplo, los egipcios usaban una cuerda dividida en 12 partes iguales para formar ángulos rectos. Y es que el triángulo con lados de 3, 4 y 5 era rectilíneo.

Algebraikoki se puede escribir como, si x, y son encadenados y z hipotenus,

x2 ⁺ y2 = ^z2

Se pueden encontrar infinitos valores de los números x, y, z que cumplen esta igualdad. En otras palabras, se puede construir infinito triángulo recto.

a.C. VI. Desde el siglo XIX hasta el siglo XX. Pasaremos de 100 a 400 años. En aquella época, en Grecia, vivía Diofanto (Aún no sabemos el año en que vivía. El único dato que sabemos es que vivió 84 años, como se puede deducir de su fallecimiento). El mayor trabajo de Diofanto fue “Aritmética”. Hasta la fecha ha llegado la mitad. En muchos problemas Diofanto establecía una condición a la hora de buscar soluciones: las soluciones deben ser números naturales (ni fracciones ni decimales). En la actualidad, el análisis que busca soluciones comunes se denomina diofántico y ocupa un amplio campo de la teoría numérica. Una solución diofántica de la igualdad superior es la utilizada por los egipcios:

32 ⁺ 42 = ⁵²

En realidad, los tríos que cumplen la ecuación pitagórica son infinitos:

x = m . n, y = m2 ^- n2/2, z ⁼ m2 + n2/2,

s/n siendo (m,n) = 1.

Una versión de la Aritmética de Diofanto, la adaptación del griego al latín realizada por Bachet Mèziriac, llegó a manos del abogado Pierre Fermat en el siglo XVII. P. Fermat nació cerca de Tolosa en 1601. A pesar de ser abogado, era aficionado a las matemáticas y se dedicaba mucho tiempo a las matemáticas, cuyas aportaciones fueron magistrales.

El trabajo de Diofanto no era práctico para los matemáticos aplicados y era excesivamente algorítmico para los especuladores. Sin embargo, Fermat fue capaz de atraer y se convirtió en el creador de la moderna teoría numérica. Las diferentes formas del tema cautivaron a Fermat por números llenos y amigos, números imaginarios, cuadrados mágicos, tríos pitagóricos, teorías de divisibilidad y sobre todo los números primos.

Fermat, como muchos lectores, era costumbre escribir notas en los bordes de los libros. En aquellos extremos dejó escritos muchos teoremas, algunos demostrados y otros sin pruebas. Después, todos los teoremas o menos uno han sido probados o desmentidos. VIII de Diofanto. junto al problema, en el que se solicitaban soluciones normales de ecuación pitagórica, Fermat escribió aproximadamente: “Por el contrario, no se puede dividir un cubo en dos cubos, el 4º reverso en las dos terceras partes y, en general, cualquier reformado de más de dos en dos verdes del mismo grado. Descubrí una demostración sorprendente de este teorema general, pero no entra en este borde”.

En otras palabras, el último teorema de Fermat dice que cuando n es mayor de 2,

xn ⁺ yn = ^zn

La ecuación no tiene solución normal.

Para n = 3, se puede realizar la figura geométrica del problema. Formar un cubo con unas unidades cúbicas, otro cubo con otras unidades cúbicas. Si con las unidades cúbicas que forman estos dos cubos tratas de formar un cubo más grande, no lo conseguirás.

Eso es lo que nos dice el teorema. Si se le llama último teorema, no es porque fue el último hecho por Fermat, sino porque es el último que se queda sin demostrar en los que hizo. En 1908 el doctor Walfskehel ofreció un premio de 100.000 marcos para quien demostrara el teorema. La vigencia del premio finalizará en 2007.

Pierre Fermat.

El teorema de Fermat está demostrado para muchos valores de n, pero no para todos. Sin embargo, los resultados que se conocen hasta el momento apuntan a que la afirmación de Fermat es cierta, debido principalmente a los nuevos resultados y métodos obtenidos por el matemático alemán Faltings en 1984. Faltas para cada n mayor que 2

xn ⁺ yn = ^zn

Demostró que el número de triples x, y, z que cumplen la igualdad era finito.

Los esfuerzos realizados para resolver este problema han dado lugar a desarrollos matemáticos más grandes e importantes que los realizados en la antigüedad para resolver los tres problemas clásicos. En muchos casos, los resultados no esperados han sido satisfactorios.

Los que han estudiado la vida de Ferma se dividen en dos grupos: unos creen que Fermat probó realmente el teorema y otros creen que no tenía pruebas o que su demostración no era correcta.