Les equacions funcionals estan en el nostre entorn

2014/02/01 Indurain Eraso, Esteban - Analisi Matematikoa saileko katedraduna eta Matematika mintegiko buruaNafarroako Unibertsitate Publikoa | Abrisqueta Usaola, F. Javier - Askatasuna BHI institutuko Matematika irakaslea eta NUPeko Analisi Matematikoa sailean irakasle laguna Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Equacions funcionals: alguns exemples

Començarem amb alguns exemples il·lustratius:

1. Contemplarem algunes etapes bàsiques de la vida d'una persona:

(F) Naixement

Trobar treball (II)

(III) compra d'habitatge

(IV) casar-se

És clar que les tres últimes etapes no es poden completar sense la primera (néixer). Les tres últimes poden produir-se en qualsevol ordre.

D'altra banda, es poden unir diverses etapes bàsiques i crear una etapa global que englobi totes elles. És a dir, les etapes de cerca d'ocupació i compra d'habitatge es poden unir en una etapa més àmplia denominada arrelament. Ara, a partir d'aquest exemple, intentarem obtenir una expressió matemàtica; la realització de l'etapa b després de l'etapa a, denominem F(a,b) ( a i b e X , on X és el conjunt de totes les etapes bàsiques). Acceptarem F: X x X B X X que compleix l'equació de permutabilitat X (en altres zones, equació de migrabilidad):

F(a,b),c) = F(F(a,c),b), a,b,c e X per a totes.

La veritat és que aquesta equació funcional és bastant coneguda en altres branques de la ciència (no sols en matemàtiques):

Per exemple, en economia. Suposem que tenim una quantitat de diners C, un capital, en l'entitat bancària, i que després d'un període hem de pagar un impost (lliurar a Hisenda una proporció dels diners sobrants de la caixa). Si partint d'un capital C cobren r 1 C, sent r 1 e (0,1), la quantitat que quedarà en el banc serà R(C,r 1 )=(1-r 1) C. Si haguéssim de pagar dos impostos, de seguida ens adonarem de com la quantitat que ens quedaria en el banc no variarà segons l'ordre en el qual estiguem pagant els impostos de la següent manera:

Ed. Elhuyar Zientzia

R(R(C,r 1 ),r 2 ) = (R(R(C,r 2 ),r 1 ), C,r 1 ,r 2 > 0 i r1,r 2 e (0,1).

Informàtica. Apareix en els algorismes de computació que han de determinar els treballs que han de realitzar els ordinadors.

2. Volem realitzar viatges amb avió. Per a anar d'un aeroport anomenat x a un altre que es diu, hem de pagar P(x,i). A més, les taxes de l'aeroport de sortida, T(x), també han de pagar-se, de manera que el preu del viatge sigui P(x,i)+T(x). Suposem que segons el sistema de preus acordat el valor dels viatges d'anada i volta ha de ser el mateix, és a dir, P(x,i)+T(x) = P(i,x)+T(i), on x e i són aeroports.

En aquest cas direm P: X x X Càlcul [0,+·) compleix l'equació del circuit:

P(x,i)+P(i,z)+P(z,x) = P(x,z)+P(z,i)+P(i,x), x,i,z e X

Si volem mesurar la diferència entre els preus dels viatges d'anada i volta, sense tenir en compte les taxes dels aeroports, hem d'analitzar la funció F(x,i) = P(x,i)-P(i,x), en aquest cas F: X X X\ R compleix l'equació funcional de Sincov:

F(x,i)+F(i,z) = F(x,z) per a tots x,i,z e X.

3. Un grup de recerca assentat al País de Computación1 pot aconseguir nivells d'excel·lència de nivell x mitjançant el treball d'investigadors locals. Les persones de Chiffreland, que també són investigadores, aconseguiran un nivell d'excel·lència i si l'equip treballa pel seu compte. No obstant això, la col·laboració entre tots dos equips permet aconseguir nivells d'excel·lència E(x,i) i, probablement, aconseguir nivells superiors als x e i de cada grup. També hem de reconèixer que el nivell d'excel·lència E(x,i) aconseguit amb el treball conjunt serà el màxim assolible. Si un d'ells aconseguís aquest nivell sense el suport de l'altre, encara que s'ajuntés amb l'altre no milloraria aquest nivell d'excel·lència. És a dir, col·laborar amb l'altre grup no suposaria elevar el nivell d'excel·lència de la recerca. Aquesta situació la podem expressar de la següent manera:

E(E(x,i),i) = E(x,i) = E(x,E(x,i)),

R: La funció X x X B X es denomina funció d'increment, on X representa tots els nivells d'excel·lència. Aquesta equació està bastant estudiada en la literatura especial i es diu equació del consens perquè està relacionada amb els problemes habituals que es presenten en els estudis de Selecció Social.

Recerca matemàtica per equacions funcionals

Quan un matemàtic escolta l'expressió equació funcional, immediatament se li ocorren conceptes com a equacions diferencials, equacions de derivada parcial o equacions integrals. Això és fàcil d'entendre, ja que aquest tipus d'equacions tenen la seva pròpia teoria ben desenvolupada i consolidada, i a més podem afirmar amb certesa que aquest matemàtic ha après en els seus estudis universitaris almenys algun dels conceptes esmentats, si no tots ells.

Ed. Springer

Però l'expressió equació funcional abasta un conjunt més ampli de relacions entre equacions o funcions.

En la resolució dels exemples presentats en el portal, aquests exemples no s'analitzaran, almenys al principi, amb les tècniques emprades per les teories de derivades parcials, equacions diferencials o equacions integrals. És més, una persona que treballa en equacions funcionals es troba amb equacions poc o gens relacionades amb equacions diferencials, integrals o derivades parcials, i les que troba són molt similars a les que apareixen en els nostres exemples.

El que passa és que no existeix una teoria matemàtica consolidada i estesa per a l'aprenentatge d'aquestes equacions funcionals (que són de significat més general i ampli), encara que existeixen estudis i treballs clàssics (per desgràcia o per fortuna són pocs treballs).

Cal fer un exemple o esment interessant: en aquest tema de les equacions funcionals, com ja s'ha comentat, hi ha poca bibliografia. És més, les tècniques utilitzades per a l'estudi d'equacions amb funcions multivariantes, com a F(x,i)+(F(i,z) = F(x,z), difereixen radicalment de les utilitzades per a l'estudi d'equacions funcionals amb funcions monovariables com a f(x+i)=f(x)+f(i).

El normal és que quan un investigador resol una equació d'aquest tipus, comunica el descobriment en una revista especialitzada utilitzant tècniques bàsiques, o bé el presenta com un problema de resolució en una revista especialitzada en resolució de problemes, és a dir, en l'Olimpíada Internacional de Matemàtiques. Quan un problema d'aquest tipus es presenta en una olimpíada matemàtica internacional, els participants --alumnes excel·lents entre altres- posen en marxa tota la seva habilitat i imaginació per a resoldre aquests problemes nous per a ells, i moltes vegades desenvolupen noves tècniques. A vegades, la col·lecció de procediments de resolució utilitzats pels alumnes en les olimpíades matemàtiques constitueix un recurs enorme per als qui treballen en aquesta matèria. Com ja tenim, cal dir que un dels llibres més destacats en aquest tema és el que ha escrit l'entrenador de la selecció canadenca de Matemàtica Olímpica. Ha ordenat i recopilat les tècniques utilitzades pels millors i ha obtingut un excel·lent llibre sobre equacions funcionals.

Paraules finals i un problema com a regal

Aquest tipus d'equacions apareixen en el nostre camp de recerca i publiquem articles en revistes especialitzades (anàlisi matemàtica abstracta, computació teòrica, economia matemàtica o selecció social).

Estem treballant en això i podem dir que, malgrat ser una línia que no es treballa massa entre els matemàtics, tampoc és de poc interès. Per això, ens hem atrevit a escriure aquesta nota, intentant posar de manifest aquesta línia de recerca. Finalment, si hi ha algun lector que encara no està satisfet, presentem el segon problema de l'Olimpíada de Matemàtiques realitzada a Santander: "Determini totes les funcions reals f:R R R d'una sola variable que compleixin l'equació funcional f(i)(x-2)+f(i+2f(x)=f(x+i f(x))), x,i e R."

Aquesta branca de recerca forma part del projecte de recerca MTM2012-37894-C02-02.

1 Hem hagut d'utilitzar aquest nom imaginari perquè gràcies a l'àmplia visió dels polítics avui dia no hi ha grups de recerca.

Referències