Ondas de dispersión lineales y no lineales

1998/09/01 Vega, Luis Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Las observaciones realizadas por el ingeniero escocés John Scott Russell en un canal cercano a Edimburgo (1835) se consideran la primera descripción escrita de la onda solitaria. En este caso, se trataba de una onda originada en canales de poca profundidad que mantenía aparentemente la forma y la velocidad sin cambios, pero que se propagaba a gran velocidad durante un periodo de tiempo muy largo. Russell fue capaz de repetir el suceso en el laboratorio y observó que la velocidad, altura y anchura de la onda estaban relacionadas: mayor velocidad a mayor altura pero menor anchura.

Tuvieron que pasar 60 años para encontrar el modelo matemático adecuado. Tras las aportaciones básicas de Stokes (1847), Boususte (1872) y Rayleig (1876), Korteweg y de Vries (1895) propusieron la ecuación que lleva su nombre:

(1) ht + (c0 + c1h) hx + nhxxx = 0.

La función h(x,t) mide la desviación de la altura del fluido en el punto x y en el tiempo t del estado de equilibrio. Las constantes físicas del problema son c0, c1 y n. Es fácil ver que las funciones (2) son las soluciones de la ecuación (1), independientemente de a>0, comprobando las observaciones de Russell. La existencia de la citada onda solitaria es la influencia de un determinado equilibrio entre la dispersión que produce el término que lleva a la tercera derivada y el choque o concentración producido por la interacción no lineal.

En la segunda mitad de este siglo, Kruskal y Zabusky (1965) consiguieron la ecuación KdV (que se llama así (ecuación (1))) como límite continuo de una red unidimensional formada por N muelles con débil interacción no lineal, según el modelo propuesto por Fermi, Pasta y Ulam (1955). KdV es exactamente el resultado de una interacción cuadrática. Cuando el tema hhx es cúbico se sustituye por h2hx. La nueva ecuación se denomina KdV modificado (mKdV). Tomando los datos iniciales simples (h(x,0) = a cos (2{)), se realizaron ensayos numéricos y, tras un intervalo de tiempo, vieron que aparece un tren de ondas formado por varias "ondas solitarias", con amplitudes y, por tanto, velocidades diferentes. Al ser las condiciones del entorno periódicas, estas ondas se enfrentan entre sí y, esto sí, sorprendentemente, siguen el camino tras los choques, ya que apenas ocurrió. Es decir, como una interacción lineal.

Inventaron la palabra "solitoi" para este nuevo tipo de resolución. Además, Fermi, Pasta y Ulam también vieron
lo que destacaron como un fenómeno casi periodístico. La transformación que Miura encontró en su evolución ha sido decisiva, relacionando las soluciones de KdV y mKdV (más concretamente, se puede ver que las cantidades que la evolución mantiene sin modificar son infinitas). Por otra parte, tanto KdV como mKdV se consideran en la actualidad ecuaciones "canónicas", apareciendo como una aproximación a ciertos modelos físicos y no sólo en la dinámica de las ondas en canales de poca profundidad. Se puede ver el libro [1] de la bibliografía para estos temas y como referencia de resultados anteriores.

Sin embargo, no debemos olvidar que las ecuaciones son sólo modelos matemáticos y son una simplificación bruta del problema físico original. No está claro, por tanto, si con este procedimiento no hemos perdido la información esencial. Tampoco se garantiza de antemano que este modelo matemático tenga solución para un conjunto razonable de datos iniciales. Tampoco, en caso de resolución, que ésta sea única y asegure un comportamiento correcto ante pequeños errores de medición de los datos iniciales. Hemos trabajado en este campo. R. Kenig (University of Chicago) y G. Con los profesores Ponce (University of California, Santa Bárbara) y varios trabajos iniciados en 1989 hemos desarrollado técnicas para tratar estos temas.

Tanto KdV como mKdV deben considerarse perturbaciones "pequeñas" del problema lineal al que están vinculadas. Sin embargo, no está claro cómo se debe medir esta pequeña luz. Es decir, los instrumentos de medida y decisión de lo pequeño y grande deben encontrarse en la ecuación de las derivadas parciales correspondientes. O, lo que es lo mismo, buscar el parámetro relevante del problema.

Según nuestra investigación la clave puede ser: Perturbación del perfil inicial de la onda solitaria que proporciona la fórmula (2) con un factor muy oscilante (cosNx, N>1) y una amplitud A(N) suficientemente pequeña. Entonces el dato inicial

(3) h = A(N) cos (Nx) sech2 (x-t/3),

será para la ecuación de KdV y algo parecido (colocando sech en el lugar de sech2) para mKdV, tomando los valores particulares adecuados de las constantes para facilitar su representación. Lo hemos visto en [3] y para mKdV

(4) A(N)< N1/4

en su caso, que las resoluciones estén uniformemente alineadas. Para la ecuación de KdV el resultado era peor. Pero este es el J del Institute for Advanced Study de Princeton. Fue dirigida por el profesor Bourgain, demostrando que A(N)<1 para KdV era suficiente. Inventó nuevas técnicas para ello, que han sido muy útiles en otras ecuaciones de derivados parciales. En particular, Fermi, Pasta y Ulam demostró con precisión la periodicidad observada mediante métodos numéricos.

Sorprendentemente, el resultado de Bourgain puede mejorarse. En [4] hemos demostrado que la amplitud también puede crecer. En concreto, basta

(5) A(N) < N-p , p > 3/4

Este resultado es más acorde con la condición (4) conocida para mKdV, ya que la diferencia entre ambos es de una unidad, como sugiere la transformación de Miura.

Recientemente hemos demostrado (4) que es óptima (es muy posible que así sea (5). En concreto, utilizando el parámetro a de la fórmula (2) se han obtenido nuevas soluciones con propiedades de interés. Por un lado, salvo una masa residual con comportamiento disperso, son ondas que se desplazan en dirección contraria a la onda solitaria que aparece en (1). Por otro lado, al actuar con los parámetros N y a, sustituir el exponente 1/4 en la condición (4) por otro más pequeño, se pierde la uniformidad de dependencia continua y, por tanto, se demuestra la inestabilidad.

Estas nuevas soluciones son la generalización de otras conocidas para la ecuación semi-lineal de Schrödinger. Ecuación

(6) iut = uxx + l u I2 u

es decir, también canónico y tiene una estrecha relación con mKdV, aunque a nuestro juicio todavía no se entiende bien. Por ejemplo, las ondas solitarias cuyo perfil de secante hiperbólico es la solución de ambas ecuaciones. Además, la ecuación (6) contiene solitones y la ley de conservación tiene un número infinito. Y tiene una propiedad aparte, la inmutabilidad con las transformaciones de Galileo. Por medio de la presente, la resolución correspondiente al dato eiNx u0 puede redactarse en función del dato u0. Por tanto, para (6) se deduce la misma inestabilidad que hemos demostrado para mKdV.

El significado de esta inestabilidad desde el punto de vista físico es una pregunta inherente, ya que (6) aparece como una aproximación a modelos físicos de varios ámbitos, como la óptica no lineal y la mecánica de fluidos. Más concretamente, y a través de la transformación de Hasimoto, está ligada a la evolución de un "vortex filament" y, en el ferromagnetismo, es el límite continuo de la cadena de Heisenberg. Esta onda solitaria tiene su último enlace con el problema clásico de la "curva elástica" de Bernoulli: Escribiendo de forma polar el número complejo que da la resolución u de la ecuación (6), el módulo da curvatura y el argumento es la función original de la torsión.

Por último, la inestabilidad de estas nuevas resoluciones puede servir para resolver otro problema. Volvamos a la ecuación de KdV y tomemos la constante física n que mide la dispersión. Como se ha indicado anteriormente, cuando el valor de este parámetro es cero, el modelo puede generar ondas de choque (basta con tomar datos iniciales no decrecientes). La forma de continuar la resolución tras las colisiones no es la única. Por eso hay que volver al modelo físico y utilizar la entropía para seleccionar una resolución físicamente significativa. Otra forma de responder al problema de la no soledad es mediante la resolución de la ecuación (2) para los valores de n, tomando el límite. La relación entre la solución "entrópica" y la "dispersión nula" no está bien clarificada. También queremos advertir que, actuando con los parámetros N y a de las nuevas resoluciones antes mencionadas, podemos modificar la dispersión n.

• Título del proyecto: Ondas de dispersión lineales y no lineales.
• El objetivo del proyecto es el problema del Cauchy de las ecuaciones de dispersión, la regularidad de los datos y resoluciones iniciales, la inestabilidad de las soluciones.
  
• Director: Luis Vega González
• Equipo de trabajo: Susana Gutierrez de Gracia yM.
  Cruz Vilela Bendaña (UPV/EHU); Campaneros:
  Carlos E. Kenig (University of Chicago) y Gustavo Ponce (University of California, Santa Bárbara)
• Departamento: Matemáticas
• Facultad: Facultad de Ciencias

REFERENCIAS

1. A.C. Newell, Solitons in Mathematics and Physics (SIAM, eds. ), 1985.
2. J. Bourgain, Fourier restriction phenomena for certain latticesubsets
   and applications to nonlinear evolution equations,Geometric and
   Functional Anal. 3 (1993), 107-156, 209-262.
3. C.E. Kening, G. Ponce and L. Vega, Well-posedness and scattering results for the generalized Korteweg-de Vries equation via theccontraction
   principle, Comm. Pure Apple. Math. 46 (1993), 527-620.
4. C.E. Kening, G. Ponce and L. Vega, A bilinear estimate withapplications
   to the KdV equation, Journal Amer. Math. Soc. 9(1996),
   573-603.