Balóns platónicos

2014/05/01 Lakar Iraizoz, Oihane - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Materialak
• Matematika

Desde o punto de vista matemático, "os balóns de fútbol son moi atractivos", afirma o matemático da UPV José Ignacio Royo Prieto. Lonxe dos remolinos, afeccións e amores platónicos que xorden ao redor do fútbol, os matemáticos ven as caras, os bordos e os vértices nos que se basean os balóns. Trátase basicamente de poliedros inflados por aire, que son "estruturas moi bonitas".

Do mesmo xeito que o balón Brazuca do Mundial de Fútbol deste ano é un cubo soprado de aire na base, pódense transformar en poliedros de todo tipo. Con todo, "un determinado grupo de poliedros, os poliedros platónicos e os seus derivados, foron os que máis éxito tiveron na fabricación do balón. Chámaselles platónicos porque se describiron no libro Timeo de Platón, pero antes eran coñecidos", explica Rovo. A peculiaridade destes poliedros e a súa vantaxe paira a fabricación de balóns é que son totalmente regulares. Por unha banda, en todos os vértices ocorre o mesmo, é dicir, únese o mesmo número de bordos e de caras. Doutra banda, todas as caras que forman o poliedro son iguais, é dicir, están formadas por un único tipo de polígonos. Ademais, os polígonos son regulares, é dicir, teñen todos os lados iguais e os ángulos entre os lados tamén.

José Ignacio Royo Prieto. É investigador do departamento de Matemática Aplicada da UPV/EHU. Realizou diversas publicacións e investigacións relacionadas coa xeometría dos balóns. Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

Royo destacou que, ao ser tan regulares, "é máis fácil fabricar balóns a gran escala a partir deles. Os modistos non necesitan saber que é un poliedro, o único que ten que saber é cantas pezas ten que coser. Con esta sinxela regra créase o balón". Paira dar un valor á produción de balonmán, un dato: 13 millóns de unidades vendidas do Mundial de Fútbol 2010.

Só cinco poliedros presentan todas as características dos platónicos. A unión dos triángulos permite a formación de tres formas: o tetraedro, 4 triángulos unidos por tres; o octaedro, 8 triángulos unidos por catro, e o ikosaedro, 20 triángulos unidos por cinco. Cos cadrados pódese construír o cubo (6 cadrados agrupados de tres en tres) e finalmente o dodecaedro fórmano 12 pentágonos agrupados de tres en tres.

Cubo, base de balóns vellos

Nos balóns máis antigos do fútbol, o XIX. Desde o século XX Até mediados do século XX predominan as estruturas cúbicas. Desta estrutura básica de seis caras cadradas xurdiron numerosas variantes. En ocasións, por exemplo, paira formar cada cara uníanse tres pezas rectangulares, formando o cubo con 18 pezas.

XX. No balón da Real de principios do século XX pódese observar que se basea nunha estrutura cúbica. Cada cara do cubo está formada por tres pezas rectangulares. Ed. © Aritz Martínez

Desta estrutura de 18 pezas derivouse tamén outra, substituíndo as pezas rectangulares por outras en T. Así, una tira dunha cara forma a liña horizontal superior da T e a perna da T ocupa a metade da tira central da cara lateral.

Todas estas transformacións teñen como obxectivo, como explicou Royo, "dar o máximo equilibrio ao balón e paira iso, una vez inchado, o balón sexa o máis esférico posible". E é que, desde o punto de vista técnico, o balón debe estar equilibrado, ao lanzar, "para que o movemento sexa o máis normal posible, o máis parecido ao que tería una partícula. Se o balón está desequilibrado, o seu movemento é máis complexo e iso é malo paira os que xogan".

Como a estrutura do balón faise en anacos e os anacos cósense, "hai que ter moi en conta os bordos que se forman nas costuras", precisou Royo. Isto débese a que ao inflar o balón os bordos non se moven, xa que non son tan flexibles como o resto do material, o que pode provocar abombamientos ou desequilibrios que poden provocar efectos inesperados. Por tanto, as variantes mencionadas foron solucións ideadas para que ao inflar o balón e ao curvar as pezas fosen o máis esféricas posibles. Por exemplo, ao curvarse, as pezas en T aproxímanse máis á forma dunha esfera que ás pezas rectangulares.

Estrela nas estrelas, balón de hexágono e pentágono

A pesar dos avances, o cubo non é a forma máis próxima á esfera e na evolución dos balóns inventáronse outras estruturas básicas. O balón creado paira o Mundial de Fútbol de 1970, o Telstar, foi un fito. "Desde entón o poliedro formado por hexágonos e polígonos converteuse no arquetipo da inmensa maioría dos balóns de fútbol. Foi un gran paso cara á rotonda dos balóns, que ocupa o 86% da esfera sen que este poliedro estivese inflado polo aire", afirma Royo.

Está formado por 20 triángulos unidos por cinco. Ao cortar os vértices do icosaedro, o que era un vértice convértese en pentágono e os triángulos en hexágono. Esta é a base do balón máis exitoso da historia. Ed. © Krissada Chuanyen/123 RF

Este poliedro, coñecido como ikosaedro cortado, está formado por 12 pentágonos e 20 hexágonos. Non é poliedro platónico, xa que está formado por dous tipos de polígonos, pero procede dun platónico, o ikosaedro. Se tomásemos un icosaedro de goma ou queixo e cortásemos cada un dos vértices nos que se xuntan cinco caras, estes converteríanse en pentágonos e os triángulos en hexágonos. O resto de características son as mesmas que as do poliedro platónico, é dicir, todos os polígonos son regulares e en todos os novos vértices ocorre o mesmo. Así, crean una nova familia de poliedros derivados de polígonos platónicos: polígonos arquimedianos.

Por tanto, o uso de polígonos arquimedianos na fabricación de balóns “ten as mesmas vantaxes que os poliedros platónicos, polo que a súa fabricación é sinxela. Parece ser que co icosaedro cortado conseguiron o maior equilibrio entre a rotundidade e a complexidade de fabricación". E é que hai polígonos con máis rotundidade que el, como o ronvicosidecaedro que se forma coa combinación de pentágonos, cadrados e triángulos, que ocupa o 94% da esfera sen encher, pero é máis complexo de producir porque ten 72 pezas e 120 costuras, e "non tivo éxito en balonería, probablemente porque sería demasiado caro", afirma o matemático.

--> Evolución dos balóns de Adidas paira o Mundial desde 1970 até a actualidade

Balóns modernos, pouca costura e moitos tratamentos térmicos

O problema das costuras, e en xeral o límite dos poliedros, "hoxe en día está superado e non é difícil completar as esferas con partes de todo tipo. Os balóns fabrícanse con outros materiais, como os plásticos, que son máis flexibles que o coiro e que coa calor poden adoptar calquera forma". Por tanto, as pezas non presentan cubos, hexágonos nin pentágonos. Ademais, a unión entre pezas tamén é térmica, polo que non hai costura.

No caso do balón Brazuca, por exemplo, está formado por seis estrelas de catro brazos que ao xuntalas térmicamente forman una esfera perfecta. Carece de trazas propias de poliedros e costuras. Pero como algúns poliedros poden converterse en esferas, as esferas, deformándolas de forma continua, poden transformarse en poliedro. Facendo este exercicio, é dicir, pisando simultaneamente as seis pezas, na base de Brazucca pódese ver un cubo desde o punto de vista topológico. Na topología non importa que os bordos das caras que forman o poliedro teñan una liña recta ou curva; só ten en conta a estrutura, que se xuntan por tres", di Royo. En definitiva, os balóns máis modernos baséanse tamén na xeometría.

--> Ver como se fai Brazuca

Championsedro, poliedro que non podería converterse en balón

O logotipo da liga de Campións non é a imaxe dun balón real. No balón real, as estrelas xúntanse por tres. No logotipo hai dous grupos de catro estrelas. Ed. © Kelly Boreson/350RF; Ronnie Chan

 

Uno dos principais torneos de fútbol, a liga de Campións, ten un balón especial, caracterizado por estrelas que se tocan entre si. Con todo, este balón non require poliedro especial, xa que se trata basicamente dun ikosaedro cortado. Fabrícase a partir dun icosaedro, como os balóns clásicos formados por pentágonos e hexágonos. Tanto como á hora de cortar os vértices do icosaedro, eliminando una gran parte, como para que os pentágonos que alí se forman tóquense entre si, produciríanse triángulos entre os pentágonos en lugar dos hexágonos. É dicir, formaríase un ikosidodekaedro. E si neses pentágonos debuxásemos estrelas de cinco puntas, conseguiriamos o balón da liga de Campións.

Non ocorre o mesmo co logotipo deste campionato. A primeira vista si. Con todo, se nos fixamos nel, podemos observar que ten "erros ortográficos" topológicos. De feito, no verdadeiro balón as estrelas forman tres círculos. O logotipo ten dous círculos de catro estrelas. "Creo que o deseñador tivo una falta de responsabilidade ou interese na elaboración do logotipo. Non creo que querería romper especificamente a estrutura do balón, que foi algo realizado artisticamente de maneira apropiada", afirma José Ignacio Royo Prieto, matemático do Departamento de Matemática Aplicada da UPV.

Sorprendido pola aparencia deste logotipo, Royo centrouse en estudar a posibilidade de realizar un poliedro que envolve a tres e catro estrelas pentagonales. Deulle o nome de Championsedro. "Coa fórmula de Euler vimos que é posible crear un poliedro destas características, pero os círculos de catro estrelas terían outra posición", explica. Estes dous círculos enfrontaríanse entre si, o que daría una forma elipsoidal ao poliedro. "Sería moi difícil xogar ao fútbol cun balón feito con leste poliedro".

"Esta entrada #Cultura Científica 2. Participa no festival"