Balones platònics

2014/05/01 Lakar Iraizoz, Oihane - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Materialak
• Matematika

Des del punt de vista matemàtic, "les pilotes de futbol són molt atractius", afirma el matemàtic de la UPV José Ignacio Royo Prieto. Lluny dels remolins, aficions i amors platònics que sorgeixen al voltant del futbol, els matemàtics veuen les cares, les vores i els vèrtexs en els quals es basen les pilotes. Es tracta bàsicament de poliedres inflats per aire, que són "estructures molt boniques".

Igual que la pilota Brazuca del Mundial de Futbol d'enguany és un cub bufat d'aire en la base, es poden transformar en poliedres de tota mena. No obstant això, "un determinat grup de poliedres, els poliedres platònics i els seus derivats, han estat els que més èxit han tingut en la fabricació de la pilota. Se'n diu platònics perquè es van descriure en el llibre Timeo de Plató, però abans eren coneguts", explica Rovo. La peculiaritat d'aquests poliedres i el seu avantatge per a la fabricació de pilotes és que són totalment regulars. D'una banda, en tots els vèrtexs ocorre el mateix, és a dir, s'uneix el mateix nombre de vores i de cares. D'altra banda, totes les cares que formen el poliedre són iguals, és a dir, estan formades per un únic tipus de polígons. A més, els polígons són regulars, és a dir, tenen tots els costats iguals i els angles entre els costats també.

José Ignacio Royo Prieto. És investigador del departament de Matemàtica Aplicada de la UPV/EHU. Ha realitzat diverses publicacions i recerques relacionades amb la geometria de les pilotes. Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

Royo ha destacat que, en ser tan regulars, "és més fàcil fabricar pilotes a gran escala a partir d'ells. Els modistes no necessiten saber què és un poliedre, l'única cosa que ha de saber és quantes peces ha de cosir. Amb aquesta senzilla regla es crea la pilota". Per a donar un valor a la producció d'handbol, una dada: 13 milions d'unitats venudes del Mundial de Futbol 2010.

Només cinc poliedres presenten totes les característiques dels platònics. La unió dels triangles permet la formació de tres formes: el tetraedre, 4 triangles units per tres; l'octaedre, 8 triangles units per quatre, i l'ikosaedro, 20 triangles units per cinc. Amb els quadrats es pot construir el cub (6 quadrats agrupats de tres en tres) i finalment el dodecaedre el formen 12 pentàgons agrupats de tres en tres.

Galleda, base de pilotes velles

En les pilotes més antigues del futbol, el XIX. Des del segle XX Fins a mitjan segle XX predominen les estructures cúbiques. D'aquesta estructura bàsica de sis cares quadrades van sorgir nombroses variants. A vegades, per exemple, per a formar cada cara s'unien tres peces rectangulars, formant el cub amb 18 peces.

XX. En la pilota de la Real de principis del segle XX es pot observar que es basa en una estructura cúbica. Cada cara del cub està formada per tres peces rectangulars. Ed. © Aritz Martínez

D'aquesta estructura de 18 peces es va derivar també una altra, substituint les peces rectangulars per altres en T. Així, una tira d'una cara forma la línia horitzontal superior de la T i la cama de la T ocupa la meitat de la tira central de la cara lateral.

Totes aquestes transformacions tenen com a objectiu, com ha explicat Royo, "donar el màxim equilibri a la pilota i per a això, una vegada inflat, la pilota sigui el més esfèric possible". I és que, des del punt de vista tècnic, la pilota ha d'estar equilibrat, en llançar, "perquè el moviment sigui el més normal possible, el més semblant al qual tindria una partícula. Si la pilota està desequilibrada, el seu moviment és més complex i això és dolent per als quals juguen".

Com l'estructura de la pilota es fa en trossos i els trossos es cusen, "cal tenir molt en compte les vores que es formen en les costures", ha precisat Royo. Això es deu al fet que en inflar la pilota les vores no es mouen, ja que no són tan flexibles com la resta del material, la qual cosa pot provocar abombamientos o desequilibris que poden provocar efectes inesperats. Per tant, les variants esmentades van ser solucions ideades perquè en inflar la pilota i en corbar les peces fossin el més esfèriques possibles. Per exemple, en corbar-se, les peces en T s'aproximen més a la forma d'una esfera que a les peces rectangulars.

Estrella en les estrelles, pilota d'hexàgon i pentàgon

Malgrat els avanços, el cub no és la forma més pròxima a l'esfera i en l'evolució de les pilotes es van inventar altres estructures bàsiques. La pilota creada per al Mundial de Futbol de 1970, el Telstar, va ser una fita. "Des de llavors el poliedre format per hexàgons i polígons es va convertir en l'arquetip de la immensa majoria de les pilotes de futbol. Va ser un gran pas cap a la rotonda de les pilotes, que ocupa el 86% de l'esfera sense que aquest poliedre estigués inflat per l'aire", afirma Royo.

Està format per 20 triangles units per cinc. En tallar els vèrtexs de l'icosaedre, la qual cosa era un vèrtex es converteix en pentàgon i els triangles en hexàgon. Aquesta és la base de la pilota més reeixida de la història. Ed. © Krissada Chuanyen/123 RF

Aquest poliedre, conegut com ikosaedro tallat, està format per 12 pentàgons i 20 hexàgons. No és poliedre platònic, ja que està format per dos tipus de polígons, però procedeix d'un platònic, l'ikosaedro. Si prenguéssim un icosaedre de goma o formatge i talléssim cadascun dels vèrtexs en els quals s'ajunten cinc cares, aquests es convertirien en pentàgons i els triangles en hexàgons. La resta de característiques són les mateixes que les del poliedre platònic, és a dir, tots els polígons són regulars i en tots els nous vèrtexs ocorre el mateix. Així, creen una nova família de poliedres derivats de polígons platònics: polígons arquimedianos.

Per tant, l'ús de polígons arquimedianos en la fabricació de pilotes “té els mateixos avantatges que els poliedres platònics, per la qual cosa la seva fabricació és senzilla. Sembla ser que amb l'icosaedre tallat van aconseguir el major equilibri entre la rotunditat i la complexitat de fabricació". I és que hi ha polígons amb més rotunditat que ell, com el ronvicosidecaedro que es forma amb la combinació de pentàgons, quadrats i triangles, que ocupa el 94% de l'esfera sense omplir, però és més complex de produir perquè té 72 peces i 120 costures, i "no ha tingut èxit en balonería, probablement perquè seria massa car", afirma el matemàtic.

--> Evolució de les pilotes d'Adidas per al Mundial des de 1970 fins a l'actualitat

Balones moderns, poca costura i molts tractaments tèrmics

El problema de les costures, i en general el límit dels poliedres, "avui dia està superat i no és difícil completar les esferes amb parts de tota mena. Les pilotes es fabriquen amb altres materials, com els plàstics, que són més flexibles que el cuir i que amb la calor poden adoptar qualsevol forma". Per tant, les peces no presenten galledes, hexàgons ni pentàgons. A més, la unió entre peces també és tèrmica, per la qual cosa no hi ha costura.

En el cas de la pilota Brazuca, per exemple, està format per sis estrelles de quatre braços que en ajuntar-les tèrmicament formen una esfera perfecta. Manca de traces pròpies de poliedres i costures. Però com alguns poliedres poden convertir-se en esferes, les esferes, deformant-les de manera contínua, poden transformar-se en poliedre. Fent aquest exercici, és a dir, trepitjant simultàniament les sis peces, en la base de Brazucca es pot veure una galleda des del punt de vista topològic. En la topologia no importa que les vores de les cares que formen el poliedre tinguin una línia recta o corba; només té en compte l'estructura, que s'ajunten per tres", diu Royo. En definitiva, les pilotes més modernes es basen també en la geometria.

--> Veure com es fa Brazuca

Championsedro, poliedre que no podria convertir-se en pilota

El logotip de la Lliga de Campions no és la imatge d'una pilota real. En la pilota real, les estrelles s'ajunten per tres. En el logotip hi ha dos grups de quatre estrelles. Ed. © Kelly Boreson/350RF; Ronnie Chan

 

Un dels principals tornejos de futbol, la Lliga de Campions, té una pilota especial, caracteritzat per estrelles que es toquen entre si. No obstant això, aquesta pilota no requereix poliedre especial, ja que es tracta bàsicament d'un ikosaedro tallat. Es fabrica a partir d'un icosaedre, com les pilotes clàssiques formades per pentàgons i hexàgons. Tant com a l'hora de tallar els vèrtexs de l'icosaedre, eliminant una gran part, com perquè els pentàgons que allí es formen es toquin entre si, es produirien triangles entre els pentàgons en lloc dels hexàgons. És a dir, es formaria un ikosidodekaedro. I si en aquests pentàgons dibuixéssim estrelles de cinc puntes, aconseguiríem la pilota de la Lliga de Campions.

No ocorre el mateix amb el logotip d'aquest campionat. A primera vista sí. No obstant això, si ens fixem en ell, podem observar que té "errors ortogràfics" topològics. De fet, en la veritable pilota les estrelles formen tres cercles. El logotip té dos cercles de quatre estrelles. "Crec que el dissenyador va tenir una falta de responsabilitat o interès en l'elaboració del logotip. No crec que voldria trencar específicament l'estructura de la pilota, que va ser una cosa realitzada artísticament de manera apropiada", afirma José Ignacio Royo Prieto, matemàtic del Departament de Matemàtica Aplicada de la UPV.

Sorprès per l'aparença d'aquest logotip, Royo es va centrar en estudiar la possibilitat de realitzar un poliedre que embolica a tres i quatre estrelles pentagonals. Li va donar el nom de Championsedro. "Amb la fórmula d'Euler vam veure que és possible crear un poliedre d'aquestes característiques, però els cercles de quatre estrelles tindrien una altra posició", explica. Aquests dos cercles s'enfrontarien entre si, la qual cosa donaria una forma el·lipsoidal al poliedre. "Seria molt difícil jugar al futbol amb una pilota feta amb aquest poliedre".

"Aquesta entrada #Cultura Científica 2. Participa en el festival"