NAVIER-STOKES: galderen zurrunbiloan harrapatuta

Marruskadura, buruhausteen jatorria

Bihotzeko arterietan zehar doan odol fluxua, atmosferako aire korronte eta hodeien higidura, edota hegazkin baten hegalen inguruko fluxua: fluidoen dinamikarekin erlazionatutako fenomeno fisikoen zerrenda amaigabea osa genezake. Fisika eta matematikaren izen handienen eskutik, historian zehar fenomeno hauek ulertu eta aurreikusteko ahaleginak ugariak izan dira. Espero genezakeen bezala, argien mendera jo behar dugu fluido “idealen” dinamika deskribatzen duten ekuazio diferentzialen lehen zirriborroak aurkitzeko. Zehazki, 1755. urtean Leonhard Eulerrek “fluido idealen” ekuazio diferentziala aurkeztu zuen, inertzia indarren aurrean fluido partikulen arteko marruskadura baztergarria zela suposatuz, ur-jauzi eta oro har abiadura handiko fluxuetan bezala.

Aurrerapauso handia izan bazen ere, esaterako, eztiaren mugimendu geldoa kalkulatzeko, Eulerren ekuazioak kale egiten du, fluxuaren biskositateak (marruskadura indarrek) indar inertzialen aurrean garrantzia handiagoa baitu. Arazo bera sortzen da solido edo oztopoen inguruko fluxuak ebaztean, oztopotik gertu abiadura gradiente handiak sortzen baitira marruskadura indarren ondorioz. Honen aurrean, 1822. urtean Claude-Louis Henri Navierrek eta, hogei urte beranduago George Gabriel Stokesek , Eulerren ekuazioari fluido biskoso edo likatsuaren marruskadura eragina gehitu zioten, egun Navier-Stokesen ekuazio bezala ezagutzen ditugunak formulatuz. Hauen atzean fluido partikula bati aplikaturiko oinarrizko bi printzipio ditugu: masaren kontserbazioa (jarraitutasun ekuazioa) eta Newtonen bigarren legea, azken honek fluido partikularen momentuaren hazkuntza-tasa (ekuazioaren ezkerraldean) eta hazkuntza hori eragiten duten presio, grabitate eta marruskadura indarrak (ekuazioaren eskumaldean) lotzen dituelarik.

Matematikaren txoko ilunenetan

Ohikoa den bezala, ekuazio diferentzialen soluziora heltzeko hasierako baldintzak finkatu behar dira. Kasu honetan, une jakin batean fluxuak espazioko hiru dimentsioetan duen abiadura eta presio banaketak eman behar dizkiegu Navier-Stokesen ekuazioei (norabide bakoitzeko ekuazio bat). Hortik abiatuz, ekuazioek etorkizuneko edozein unetan fluxuak duen abiadura eta presioa itzuli beharko lukete. Zer suposatuko luke honek? Adibidez, fenomeno meteorologikoak denboran zehar zehazki aurreikusteko gai izango ginateke, korronte ozeaniko eta olatuen higidura guztiz definitu, gorputzen inguruko aerodinamika zehatz-mehatz ebatzi…  Hau posible balitz, ziurrenik, errealitatea beste era batera ikusi eta ulertuko genuke. Zoritxarrez, bi mende igarota soluzio analitikoa baldintza konkretu batzuk betetzen dituzten fluxuentzat soilik ezagutzen da. Zergatia jakiteko ekuazioari erreparatu besterik ez dago: bigarren ordenako deribatu partzialek (marruskadura indarretan) eta ez-linealtasunek (azelerazio konbektiboan) izugarrizko zailtasunak sortzen dituzte ekuazioak analitikoki ebazterako orduan.

Gezurra dirudien arren, fisikari eta ingeniarien ikuspuntutik, ekuazioek errealitatea fidagarritasun osoz deskriba dezakete, nola liteke? Horretarako ohikoa den tresna matematiko bat erabiltzen da: ekuazioak zenbakizko metodoen bidez ebaztea, ekuazioko termino bakoitza modu aljebraikoan idatziz eta mugalde baldintza jakin batzuk ezarrita soluzio hurbilduak lortzen direlarik.

Ezkerrean: Hidrogeno sugar batean CFD kalkulu bidez lortutako tenperatura banaketa, espazioa elementu diskretuz osatuta dago. Eskuman: Laborategi neurketetan ateratako sugarraren irudia. Arg. Gontzal Lopez Ruiz

“Computational Fluid Dynamics” edo CFD bezala ezagutzen den diziplinak, Navier-Stokesen ekuazioak matrizeen aljebraren bidez ebazten ditu fluxu laminar eta turbulentuetan. Planteatutako problemaren arabera kalkulu konputazionalaren kostua oso altua izan daitekeen arren, azken hamarkadetan simulazio erreminta horrek indarra hartu du ikerkuntza eta industriako zenbait arlotan. Izan ere, fluidoen mugimenduarekin batera, bero-transferentzia, erreakzio kimikoak edota fluidoek eragindako solidoen deformazioak simulatu daitezke, errealitatean ematen diren problema multi-fisikoak ebatziz. Artean, soluzioen existentzia eta bakartasuna frogatze aldera, matematikariek lanean dihardute.

Errealitatetik at?

1933. urtean Jean Leray matematikariak denbora tarte txiki bat kontsideratuz ekuazioen soluzio “ahulen” existentzia eta bakartasuna frogatu zituen [3]. Bai, ikus daitekeen bezala, arazoa asko sinplifikatu zuen. Soluzio leunen aurrean, formulazio ahularen bitartez ekuazioak izan ditzakeen soluzio ez-diferentziagarriak aurki daitezke, abiapuntu bezala ekuazioen existentzia eta bakartasunaren ikasketa erraztuz. Aurrekari garrantzitsu honek problemaren aurrean beste jarrera bat hartzera eraman ditu matematikariak, Princeton Unibertsitateko Tristan Buckmasterren esanetan “Estrategietariko bat Lerayen soluzio ahulak leunak direla frogatzea litzateke, eta lortuz gero milurteko problema ebatziko zenuke” [2]. Soluzio leunek errealitate fisikoa guztiz deskribatuko lukete, edozein denbora unetan kontsideratutako eremuko puntu bakoitzean soluzio bat izango genukeelarik (abiadura eta presio eremuen soluzioak). Hauxe da gakoa eta matematikarien zalantza nagusia: formulazio leuna kontsideratuz kalkulua martxan jartzean, denboran zehar abiadura bektore egokiak lor daitezke, baina baliteke, bat-batean emaitzek eremuko punturen batean abiadura infinitua itzultzea: ekuazioek eztanda egin dute.

Zentzu honetan azken aurrerapenek zalantzak areagotu dituzte. 2017an Princeton Unibertsitateko Tristan Buckmaster eta Vlad Vicol matematikariek argitaratutako artikuluan [4], soluzio “ahulen” definizio jakin batzuetarako, Lerayen soluzioen bakartasuna zalantzan jarri zuten. Emaitza hauen arabera hasierako baldintza batzuetatik abiatuz, soluzioak fisikoki ezinezkoak diren egoeretara hel daitezke. Hala ere, artikuluan plazaratutako emaitzen inguruan zalantzak sortu dira; baliteke kontsideratutako soluzio “ahulek” eragina izatea azken emaitzan eta soluzio “ez hain ahulentzako” bakartasuna existitzea.

Simullazioen beharra

Esan bezala, azken hamarkadetan garatutako zenbakizko metodo eta algoritmoek Navier-stokesen ekuazioak modu hurbilduan ebaztea ahalbidetzen dute. CFD kalkuluen baitan badira, ordea, zenbait arazo, erronka nagusia fluxu turbulentua beste fenomeno batzuekin batera (errekuntza erreakzioak, objektuen deformazioak, bero transferentzia) simulatzeko modelo fisiko egokiak garatzea delarik. Fluxu turbulentuen ezaugarri nagusia partikulen mugimendu kaotiko eta desordenatua da, zenbait eskalatako zurrunbiloz osatua. Hortaz, fluido partikulen ibilbideek denboran zehar norabide eta abiadura aldaketa bortitzak jasaten dituzte, zenbakizko metodoen bidezko kalkulua zailduz. Zenbait tamaina edo eskalatako zurrunbiloen erlazioa ulertzeko energia zinetiko turbulentuaren espektroa edo eskala definitu zen [5]. Eskala honen arabera, zurrunbilo handiek antzeko tamaina duten zurrunbilo txikiagoei espektroan zehar energia zinetikoa transmititzen diete, eskala txikietara heldu eta fluidoaren biskositateak zurrunbiloak disipatu arte. Esan daiteke espektroak inertzia eta marruskadura indarren arteko lehia erakusten digula.

Energia zinetiko turbulentuaren espektroa. Arg. Gontzal Lopez Ruiz

Kontzeptu honetan oinarrituz, ebatzi nahi den zurrunbilo tamainaren arabera zenbait modelo garatu dira. Esaterako, kontsideratutako espazioko puntuetan eskala osoa zenbakizko metodoen bidez ebaztea (Direct Navier-Stokes edo DNS bezala ezagutzen dena) gutxi batzuen eskura dagoen luxua da, zurrunbilo txikienetan denbora eta espazio tarte hain txikiak ebazteko super-konputagailu bidezko kalkuluak erabili behar baitira. Kostu konputazionala murrizte aldera, ohikoagoak diren modelo turbulentuek eskalan zehar iragazkiak ezartzen dituzte, zati bat ebatziz (zurrunbilo handiak) eta beste bat modelizatuz (zurrunbilo txikiagoak). Azken urteetan teknika honek (Large Eddy Simulation edo LES bezala ezagutzen denak) indarra hartu du problema fisikoen ikerkuntzan eta zenbait sektoretara bideratutako diseinuen garapenean.

Etxebizitzen aireztatzea aztertzeko prototipoa: Haize tunelean egindako esperimentuak eta LES simulazioak. Arg. T. van Hoof eta lankideak [6] - CC BY NC ND

Ekuazio hauen bidez errealitatea ebaztea espero dugun arren, ez dugu ahaztu behar ekuazio diferentzialak gizakiak sortutako hurbilketak direla. Matematikarien etengabeko lanak emaitza argiak eman arte itxaron beharko du Clay Matematika Institutuak eskainitako sariak. Horrez gain, kostu konputazionala murriztu eta zenbakizko metodoen bidezko soluzio hurbilduen zehaztasuna hobetze aldera, ikertzaileek lanean dihardute garapenean dagoen zientziaren arlo honetan. Werner Heisenberg fisikariaren ahotan jartzen duten esaldiak ondo laburbiltzen du erronkaren handitasuna: “Jaungoikoarekin elkartzean naizenean ondorengo bi galderak egingo dizkiot: Zergatik erlatibitatea? Eta, zergatik turbulentzia? Ziur nago lehen galderarentzako erantzuna izango duela”.

BIBLIOGRAFIA:

[1] Fefferman C. 2006. “Existence and smoothness of the Navier-Stokes equation”, Millennium Prize Problems, Clay Math. Inst., Cambridge, MA, 2006, 57-67, URL: https://www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf

2] Hartnett K. 2017. “Mathematicians Find Wrinkle in Famed Fluid Equations”.  Quantamagazine. URL: https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-wrinkle-in-famed-fluid-equations-20171221/

[3] Leray J. 1934. “Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace”. Acta Math., 63(1), 193–248.

[4] Buckmaster T. eta Vicol V. 2019. “Nonuniqueness of weak solutions to the Navier-Stokes equation”. Ann. of Math. (2) 189 (2019), no. 1, 101–144.

[5] Kolmogorov A.N. 1941. “Dissipation of energy in locally isotropic turbulence”. Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 32, 16-18.

[6] van Hooff T., Blocken B. eta Tominaga Y. 2017. “On the accuracy of CFD simulations of cross-ventilation flows for a generic isolated building: Comparison of RANS, LES and experiments”. Building and Environment, 114, 148-165.