Ballons platoniques

2014/05/01 Lakar Iraizoz, Oihane - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

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D'un point de vue mathématique, "les ballons de football sont très attrayants", affirme le mathématicien de l'UPV José Ignacio Royo Prieto. Loin des tourbillons, des passe-temps et des amours platoniques qui émergent autour du football, les mathématiciens voient les visages, les bords et les sommets sur lesquels reposent les ballons. Il s'agit essentiellement de polyèdres gonflés par air, qui sont des "structures très belles".

Comme le ballon Brazuca de la Coupe du Monde de Football de cette année est un cube soufflé d'air à la base, ils peuvent être transformés en polyèdres de toutes sortes. Cependant, "un certain groupe de polyèdres, les polyèdres platoniques et leurs dérivés, ont été ceux qui ont eu le plus de succès dans la fabrication du ballon. Ils sont appelés platoniciens parce qu'ils ont été décrits dans le livre Timée de Platon, mais auparavant ils étaient connus », explique Rovo. La particularité de ces polyèdres et leur avantage pour la fabrication de ballons est qu'ils sont totalement réguliers. D'une part, sur tous les sommets, il en va de même, c'est-à-dire que le même nombre de bords et de faces est joint. D'autre part, toutes les faces qui forment le polyèdre sont égales, c'est-à-dire formées par un seul type de polygones. En outre, les polygones sont réguliers, c'est-à-dire, ont tous les côtés égaux et les angles entre les côtés aussi.

José Ignacio Royo Prieto. Il est chercheur au département de Mathématiques Appliquées de l'UPV/EHU. Il a publié diverses publications et recherches sur la géométrie des ballons. Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

Royo a souligné que, étant si réguliers, "il est plus facile de fabriquer des ballons à grande échelle à partir d'eux. Les couturiers n'ont pas besoin de savoir ce qu'est un polyèdre, la seule chose que vous devez savoir est combien de pièces vous devez coudre. Avec cette règle simple, le ballon est créé". Pour donner une valeur à la production de handball, une donnée: 13 millions d'unités vendues de la Coupe du Monde 2010.

Seuls cinq polyèdres présentent toutes les caractéristiques des platoniciens. L'union des triangles permet la formation de trois formes: le tétraèdre, 4 triangles unis par trois; l'octaèdre, 8 triangles unis par quatre, et l'ikosaèdre, 20 triangles unis par cinq. Avec les carrés on peut construire le cube (6 carrés groupés de trois en trois) et finalement le dodécaèdre le forment 12 pentagones groupés de trois en trois.

Cube, base de ballons vieux

Sur les plus anciens balles de football, le XIX. Du XXe siècle Jusqu'au milieu du XXe siècle prédominent les structures cubiques. De cette structure de base à six faces carrées sont apparues de nombreuses variantes. Parfois, par exemple, pour former chaque face, trois pièces rectangulaires se joignaient, formant le cube avec 18 pièces.

XX. Sur le ballon royal du début du XXe siècle, on peut observer qu'il est basé sur une structure cubique. Chaque face du cube est formée de trois pièces rectangulaires. Ed. © Aritz Martínez

De cette structure de 18 pièces, une autre a été dérivée, remplaçant les pièces rectangulaires par d'autres en T. Ainsi, une bande d'un côté forme la ligne horizontale supérieure du T et la jambe du T occupe la moitié de la bande centrale du côté.

Toutes ces transformations ont pour but, comme l'a expliqué Royo, de "donner le maximum d'équilibre au ballon et pour cela, une fois gonflé, le ballon soit le plus sphérique possible". Et c'est que, du point de vue technique, le ballon doit être équilibré, en lançant, "pour que le mouvement soit le plus normal possible, le plus semblable à celui qui aurait une particule. Si le ballon est déséquilibré, son mouvement est plus complexe et c'est mauvais pour ceux qui jouent".

Comme la structure du ballon se fait en morceaux et les morceaux sont cousus, "il faut tenir compte des bords qui se forment dans les coutures", a précisé Royo. En effet, en gonflant le ballon, les bords ne bougent pas, car ils ne sont pas aussi flexibles que le reste du matériau, ce qui peut provoquer des bosses ou des déséquilibres qui peuvent provoquer des effets inattendus. Par conséquent, les variantes mentionnées ont été des solutions conçues pour qu'en gonflant le ballon et en cintrant les pièces soient aussi sphériques que possible. Par exemple, lors du cintrage, les pièces en T se rapprochent plus de la forme d'une sphère que des pièces rectangulaires.

Étoile dans les étoiles, ballon d'hexagone et pentagone

Malgré les progrès, le cube n'est pas la forme la plus proche de la sphère et dans l'évolution des ballons ont été inventés d'autres structures de base. Le ballon créé pour la Coupe du monde 1970, le Telstar, a été une étape importante. "Depuis lors, le polyèdre formé d'hexagones et de polygones est devenu l'archétype de l'immense majorité des ballons de football. C'était un grand pas vers le rond-point des ballons, qui occupe 86% de la sphère sans que ce polyèdre soit gonflé par l'air", affirme Royo.

Il est composé de 20 triangles reliés par cinq. En coupant les sommets de l'icosaèdre, ce qui était un sommet devient pentagone et les triangles en hexagone. C'est la base du ballon le plus réussi de l'histoire. Ed. © Krissada Chuanyen/123 RF

Ce polyèdre, connu sous le nom d'ikosaèdre coupé, est composé de 12 pentagones et 20 hexagones. Il n'est pas polyèdre platonicien, car il est composé de deux types de polygones, mais provient d'un platonicien, l'ikosaèdre. Si nous prenons un icosaèdre en caoutchouc ou fromage et que nous coupons chacun des sommets sur lesquels cinq faces sont réunies, ceux-ci deviendraient des pentagones et des triangles en hexagones. Les autres caractéristiques sont les mêmes que celles du polyèdre platonicien, c'est-à-dire que tous les polygones sont réguliers et dans tous les nouveaux sommets il en est de même. Ainsi, ils créent une nouvelle famille de polyèdres dérivés de polygones platoniques: polygones archimédiens.

Par conséquent, l'utilisation de polygones archimédiens dans la fabrication de ballons “a les mêmes avantages que les polyèdres platoniques, de sorte que sa fabrication est simple. Il semble qu'avec l'icosaèdre coupé ils ont obtenu le plus grand équilibre entre la rotunité et la complexité de fabrication». Et c'est qu'il y a des polygones avec plus de fermeté que lui, comme le ronvicosidecaèdre qui se forme avec la combinaison de pentagones, carrés et triangles, qui occupe 94% de la sphère non remplie, mais est plus complexe à produire parce qu'il a 72 pièces et 120 coutures, et "n'a pas réussi à bascule, probablement parce qu'il serait trop cher", dit le mathématicien.

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Ballons modernes, peu couture et de nombreux traitements thermiques

Le problème des coutures, et en général la limite des polyèdres, "aujourd'hui est dépassé et il n'est pas difficile de compléter les sphères avec des parties de toutes sortes. Les balles sont fabriquées avec d'autres matériaux, comme les plastiques, qui sont plus flexibles que le cuir et qui, avec la chaleur, peuvent prendre n'importe quelle forme ». Par conséquent, les pièces ne présentent pas de cubes, hexagones ou pentagones. En outre, la jonction entre les pièces est également thermique, il n'y a donc pas de couture.

Dans le cas du ballon Brazuca, par exemple, il est composé de six étoiles à quatre bras qui, en les rassemblant thermiquement, forment une sphère parfaite. Il manque des traces propres de polyèdres et coutures. Mais comme certains polyèdres peuvent devenir des sphères, les sphères, en les déformant continuellement, peuvent se transformer en polyèdre. En faisant cet exercice, c'est-à-dire en marchant simultanément les six pièces, à la base de Brazucca on peut voir un cube du point de vue topologique. Dans la topologie, peu importe que les bords des faces qui forment le polyèdre aient une ligne droite ou courbe ; il ne tient compte que de la structure, qui sont réunies par trois », dit Royo. En bref, les ballons les plus modernes sont également basés sur la géométrie.

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Championsedro, polyèdre qui ne pourrait pas devenir ballon

Le logo de la Ligue des Champions n'est pas l'image d'un ballon royal. Sur le ballon royal, les étoiles sont réunies par trois. Sur le logo, il ya deux groupes de quatre étoiles. Ed. © Kelly Boreson/350RF; Ronnie Chan

 

L'un des principaux tournois de football, la Ligue des Champions, a un ballon spécial, caractérisé par des étoiles qui se rencontrent. Cependant, ce ballon ne nécessite pas de polyèdre spécial, car il s'agit essentiellement d'un ikosaèdre coupé. Il est fabriqué à partir d'un icosaèdre, comme les ballons classiques formés par pentagones et hexagones. Comme pour couper les sommets de l'icosaèdre, en éliminant une grande partie, comme pour que les pentagones qui s'y forment se touchent les uns les autres, il se produirait des triangles entre les pentagones au lieu des hexagones. Autrement dit, un ikosidodekaèdre serait formé. Et si dans ces pentagones nous dessinions des étoiles à cinq branches, nous obtiendrions le ballon de la Ligue des Champions.

Il n'en est pas de même avec le logo de ce championnat. A première vue oui. Cependant, si vous regardez, nous pouvons observer que vous avez des "erreurs orthographiques" topologiques. En fait, dans le vrai ballon, les étoiles forment trois cercles. Le logo a deux cercles quatre étoiles. "Je pense que le concepteur a eu un manque de responsabilité ou d'intérêt pour l'élaboration du logo. Je ne pense pas qu'il voudrait casser spécifiquement la structure du ballon, qui a été réalisé artistiquement de manière appropriée », affirme José Ignacio Royo Prieto, mathématicien du Département de Mathématiques Appliquées de l'UPV.

Surpris par l'apparence de ce logo, Royo s'est concentré sur l'étude de la possibilité de réaliser un polyèdre qui enveloppe trois et quatre étoiles pentagonales. Il a donné le nom de Championsedro. "Avec la formule d'Euler nous avons vu qu'il est possible de créer un polyèdre de ces caractéristiques, mais les cercles quatre étoiles auraient une autre position", explique-t-il. Ces deux cercles seraient confrontés entre eux, ce qui donnerait une forme ellipsoïdale au polyèdre. "Il serait très difficile de jouer au football avec un ballon fait avec ce polyèdre".

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