Mathématiques et art du pli

2014/07/01 Lakar Iraizoz, Oihane - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

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Imagination, connaissance mathématique et expérience. Ces trois qualités sont nécessaires pour la conception d'images par papiroflexie, selon José Ignacio Royo Prieto, mathématicien du département de Mathématiques Appliquées de l'UPV. De là, "vous pouvez obtenir la base de toute image avec un morceau de papier, ce qui a montré le physicien Robert Lang et l'expert en papiroflexie. La clé réside dans la distribution correcte des parties de l'image dans la partie papier à utiliser pour la réalisation de l'image", ajoute-t-il.

La papiroflexie a son origine au Japon ou, en utilisant le mot japonais, l'origami; VI. les premières références sont de siècle. En japonais, le mot est écrit avec deux caractères : l'un indique la main ( ori ) et l'autre fléchit ( kami ). « La tradition européenne de pliage du papier est indépendante du japonais, et il est possible que le point de départ soit le pliage décoratif des serviettes de banquet. Il ya des documents qui font référence à cette coutume, le XVI. subalternes", explique Royok Mathématiques et Papiroflexia: une relation bidirectionnelle dans l'article.

José Ignacio Royo Prieto. Chercheur au département de Mathématiques Appliquées de l'UPV et amateur de papiroflexie. Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

Le moteur de cette papiroflexie traditionnelle était l'intuition, le XXe siècle. Jusqu'au milieu du XXe siècle environ : les conceptions étaient créées en testant et en apprenant des erreurs, même en modifiant des conceptions précédentes. Une forme de transformation peut être, par exemple, "faire des vaccinations --détailler Rogo et utiliser une figure qui montre la tête et les ailes d'un oiseau -: si nous dépouillons l'image réalisée, nous pouvons couper ce morceau de papier, en tenant compte de l'emplacement de chacun des composants de l'image, et les respecter, c'est-à-dire en laissant toute la partie de papier correspondant à chaque section. Eh bien, en collant les parties séparées sur un plus grand morceau de papier, il nous restera le papier pour ajouter d'autres parties à l'image, comme les pattes. En suivant les étapes originales, nous retrouverions l'image initiale et nous devrions chercher la façon de faire les jambes avec le reste".

Dans ce type d'images, le plieur réalise des plis aléatoires ou intuitifs, jusqu'à ce que le morceau de papier qu'il a entre les mains acquiert la forme d'un animal ou objet connu. Puis, avec votre expérience, il vous donne les dernières touches, puis il suffit de se rappeler la succession de plis que vous avez fait pour élaborer une liste d'instructions de l'image créée. « Cette forme de pliage du papier est encore utilisée aujourd'hui, mais elle a certainement de grandes limites », a déclaré Rovo.

La révolution de l'augmentation de l'intention

Au cours des dernières décennies a été créé une nouvelle façon de faire les dessins, qui sont créés avec une intention ou une intention. La plus grande différence par rapport à l'autre est qu'avant de commencer à plier, le plieur planifie la structure et la distribution du modèle. Et pour cela, il utilise les mathématiques », affirme Royo. Grâce à cette distribution planifiée, « ils font des figures avec une complexité et une précision beaucoup plus grandes que les traditionnelles », a ajouté Royo : toutes sortes de mammifères, avec leurs branches, oreilles, queue, insectes avec toutes les pattes, ailes et antennes... "Il y a eu une véritable révolution créative dans la papiroflexie au cours des trois dernières décennies", a-t-il souligné.

Outre la papiroflexie figurative qui construit des images qui imitent des animaux ou des objets réels, il existe un autre type de papiroflexie: la papiroflexie modulaire. La papiroflexie modulaire consiste à créer un ensemble de pièces de base qui se lient les unes aux autres, sans utiliser aucun type de colle, pour obtenir une image finale (presque toujours géométrique). « Pour ce faire, les pièces de base doivent avoir des poches et des ailettes pour pouvoir se mettre les unes dans les autres », explique Royo.

Ed. Jorge Jaramillo/CC-BY

Plusieurs experts sont devenus des références de la papiroflexie moderne. Au-dessus de tous, souligne le japonais Akira Yoshizawa. Il croit qu'il est le père de la papiroflexie moderne. En fait, Yoshizawa a proposé, pour la première fois, comment donner des directives pour assouplir les modèles et la symbolique à utiliser pour cela. « Sans aucun doute, la plus grande contribution à la papiroflexie est depuis l'invention du papier, ce qui a permis l'internationalisation des dessins réalisés par tous », a affirmé Rovo.

Comme amateur de papiroflexie, Royo lui-même a inventé plusieurs dessins, à la fois figuratifs et modulaires: "Chacun a ses particularités et, par conséquent, ils sont conçus suivant des directives différentes". Exposez les clés de base avec un exemple.

Analyse des angles en papiroflexie modulaire

L'image montre que les cinq tétraèdres du FIT vivent dans un dodécaèdre. Les sommets de la composition coïncident en cinq ou cinq sur le même plan. Avec l'union de ces cinq, nous obtiendrions un pentagone et tous les groupes de cinq décrivent un dodécaèdre ensemble. Ed. José Ignacio Royo

En papiroflexie modulaire, "une de mes œuvres les plus importantes est la composition connue avec l'acronyme FIT (Five Intersecting Tetrahedra, ou cinq tétraèdres croisés)", affirme-t-il. Plus précisément, sa version solide. En fait, on peut construire des figures géométriques de formes très diverses: solides, c'est-à-dire qu'on obtiendrait par la taille d'une pièce solide, avec seulement les bords du polyèdre et donc avec des visages vides, étoilés, des figures avec des reliefs au lieu de visages plats, etc.

Comme l'indique le nom de l'image, l'image est composée de cinq tétraèdres entrecroisés. Pour être plus clair, Royo a construit des pièces de cinq couleurs ou des modules. La FIT naît de l'union de vingt modules. Par conséquent, "le premier travail a consisté à analyser les angles des modules que je voulais créer et, par la suite, à penser comment les obtenir en flexion de papier".

Le plus grand défi était de concevoir les modules. Chaque module est composé de trois triangles qui se combinent en forme pyramidale.

Conception figurative, mathématique et expérience de la main

Dans le cas de la conception d'images figuratives, étant donné que l'on travaille avec un seul morceau de papier, le plus important est de « bien distribuer le papier pour pouvoir réaliser toutes les sections qui contiendront notre image », affirme Royo. Une façon de le faire est de faire un schéma de l'image que vous voulez obtenir. Imaginons une mouche que Royo a conçue, entre autres: La première chose que nous devons faire est de faire un schéma en forme d'arbre avec tous les paragraphes que nous aurons notre image, chacun d'eux sera une branche de cet arbre. La longueur de chaque branche doit également être correctement représenté pour que les jambes soient plus longues que la tête, par exemple. Dans cette étape, le concepteur doit décider à quel point il veut simplifier l'image de l'objet réel ou, au contraire, à quel point il veut s'approcher de la réalité ».

Une fois qu'il est un arbre, il commence le travail d'apporter cette division au papier, le travail le plus difficile, et là les mathématiques sont d'une grande aide. Si nous avons décidé d'imaginer six pattes, deux ailes, l'abdomen et la tête pour faire la mouche, nous devrons faire un arbre de dix branches, c'est-à-dire nous tirerons dix pointes de notre fraction de papier. Supposons que nous ferons l'un d'eux avec l'un des coins du papier. Nous devrons plier par le centre ce coin et de nouveau par le centre pour obtenir une pointe mince. Si nous spécifions aussi la longueur que vous allez avoir, puis nous défaisons tous les plis réalisés, nous verrons qu'un polygone est marqué sur un bord du papier carré. Si nous voulions maigrir davantage la pointe, nous le replierions, et en sevrant nous obtiendrions un polygone avec plus de côtés. En portant cela à la limite, nous aurions finalement le quart d'un cercle. « Nous devons donc réserver la surface qui marque ce cercle et nous ne pouvons pas l'utiliser pour former les sections qui nous restent », a précisé Rovo.

Mouche conçue par José Ignacio Royo : Arenojo cacsomanu. Ed. José Ignacio Royo

Au lieu d'un coin de la boîte, si nous faisons les plis au milieu d'un côté, il apparaîtra un demi-cercle et si nous le faisons dans le papier, tout le cercle. C'est précisément ce qu'il faut faire est de diviser le papier en cercles pour obtenir les dix morceaux dont nous avons besoin pour faire la mouche. « La distribution optimale du papier est que les cercles soient tangents entre eux, tangents », explique Royo. De cette façon, nous obtenons que les cercles ne se superposent pas les uns aux autres et qu'en même temps ils ne restent pas des papiers inutilisés.

Une fois la distribution effectuée, il est temps de plier chaque partie de l'image. « Les mathématiques perdent déjà de l'importance dans cette étape et le plus important sera la compétence et l'expérience du plieur pour maigrir plus ou moins quelques pointes, façonner, faire des détails et, en définitive, obtenir l'image finale », affirme Royo.

Royo a profité de son expérience pour concevoir cette mouche. Auparavant, il a utilisé la distribution d'une image réalisée par un autre designer pour sa conception. Parmi les tâches à effectuer est inclus la conception de la mouche en suivant le processus décrit.

Quoi qu'il en soit, si nous détruisons l'image créée et revenons au tableau original, les marques qui sont restées sur papier, les unes seraient celles qui forment les vallées et les autres celles qui forment les sommets. "Cela montre, plus que tout, les mathématiques qui se cache derrière la papiroflexie. Et c'est que, dans le langage mathématique, cet ensemble de marques est appelé graphique, car il est formé par des sommets ou des nœuds (points) et des chants, et ils sont tous en quelque sorte combinés », explique Royo.

Cette carte de marque a un nom spécial dans papiroflexia, crease pattern. "Ce n'est que pour cela, c'est-à-dire sans instructions, qu'on peut inventer quels plis il faut faire au papier pour arriver à l'image finale, mais seulement ils peuvent le faire -a ajouté Royok- qui ont assez d'expérience en papiroflexie. Pour n'importe qui, il n'est pas évident quelles mesures il faut suivre pour arriver".

Faites votre pompe à eau

Si vous répétez ces instructions sur un morceau de papier, vous obtiendrez une pompe à eau. Il s'agit de cubes de papier que les enfants faisaient autrefois pour jouer avec l'eau, faute de ballons. C'est une image de grande tradition, ancienne. Par exemple, John Webster, dans l'ouvrage "La duchesse de Malfí" de 1614, mentionne "les cages de papier que les enfants utilisent pour attraper des mouches", et les experts croient qu'il s'agit de pompes à eau.

Ed. Danel Solabarrieta/Elhuyar Zientzia

Une des particularités de cette image est qu'il est totalement symétrique, à savoir qu'il faut répéter les mouvements quatre fois pour atteindre l'image finale. Et dans la dernière étape il faut souffler la structure créée, car pour avoir une pompe à eau il faut une image tridimensionnelle.

Encouragez-vous à le faire et créez votre propre pompe à eau en suivant les instructions que vous trouverez dans le PDF lié et la carte de marque. Vous pouvez également le faire en prenant tout autre morceau de papier carré.

Si elle n'est pas adaptée aux instructions des diagrammes, dans cette vidéo vous pouvez voir comment le faire.

Certains concepts de base des mathématiques peuvent être vus pliant le papier

José Ignacio Royo Prieto, mathématicien du département de Mathématiques Appliquées de l'UPV, estime que la papiroflexie est un moyen de se rapprocher du monde des mathématiques d'une manière agréable. "Il n'y a rien comme attraper un polyèdre dans les mains pour apprécier ses symétries, par exemple. Et, bien sûr, si c'est une image faite par un", dit-il.

Ed. Oihane Lakar/Elhuyar Zientzia

Sans réaliser d'images avec papiroflexie, le simple pliage de morceaux de papier permet de comprendre plus facilement quelques concepts de base de géométrie. Par exemple, lorsque nous prenons un point sur un autre et plions le papier, nous faisons la médiane entre les deux points. Ou si nous plions le papier avec deux bords superposés, nous divisons l'angle qui relie les deux côtés en deux, c'est-à-dire en marquant la bisectrice. « Ils peuvent tous être faits avec la règle et le compas, mais avec le pliage de papier ils deviennent plus faciles, et on comprend mieux ce qui est fait, parce que le résultat est évident », explique Royo.

Supposons que nous ayons un triangle de papier. Ensuite, en partant de ce triangle, nous pouvons faire un rectangle, reliant les trois sommets au pied du triangle, et en observant que la surface du rectangle résultant est la moitié de la surface du triangle d'origine, puisque dans le rectangle deux couches du papier utilisé pour réaliser le triangle ont été réunies. En outre, la plante et la hauteur du rectangle sont la moitié du triangle d'origine, d'où l'on peut déduire que la surface d'un triangle est la moitié de son pied par sa hauteur. D'ailleurs, dans ce mouvement, on peut observer que la somme des trois angles d'un triangle, unis, forme un angle plat.