"Principia"k 300 urte (2) Isaac Newton, kalkuluaren sortzaile

Bidea egiten

Greziako Matematika, Geometrian oinarritzen zen neurri handi batean, eta normala dirudi irudi launen azalera eta solidoen bolumena kalkulatu nahi izatea. Modu berean, Fisikaren lehen pausoak ematerakoan grabitate-zentrua lortzeko interesa ere erakutsi zuten. Problema horietariko erresultaturik gehienak, Arkimedes sirakusarrari zor zaizkio (K.a. III. mendean): elipse eta segmentu parabolikoen azalerak, biraketa-solido askoren bolumena (esfera, elipsoidea, paraboloide-segmentua, etab.) eta gehienen grabitate-zentrua, esate baterako.

Baina Arkimedes-ek ez zeukan gaurko Kalkuluak eskaintzen duen formulazio erraza (funtzio bakar baten integralak Arkimedes-en zenbait erresultatu ematen du) eta problema bakoitza berria zen berarentzat. Emaitzak lortzeko bere intuizio geometrikoaz baliatu zen, askotan irudia oso zati txikitan deskonposatu eta hauek irudi ezagunen bidez (triangeluak, laukiak, zilindroak) hurbilduz batura eginez. Gero, justifikatzeko, Eudoxo-rengandik harturiko " exhauzio-metodoa " erabiltzen zuen.

Handik laster Matematika (kalkuluarekin zerikusia zuena gutxienez) lozorran gelditu zen eta berarekin Arkimedes-en lanak. Arabiarrek ekarri zituzten lan horiek Europako mendebaldera, non XVI. mendean ekin zioten berriro estudiatzeari. XVII. mendearen hasieran Arkimedes-en lanak ulertzen zirela esan daiteke, fruitu berriak emateko adina bederen. Newton-engana heldu arteko berrogeitamar urte horietan izenak eta erresultatuak pilatu egin ziren: Kepler, Cavalieri, Torricelli, Roberval, Descartes, Fermat, Pascal, Wallis, Barrow, etab.

Descartes-en eskutik etorri zen Geometria Analitikoak, eragin handia izan zuen Kalkuluan; kurben adierazpen algebraikoak problemen formulazio berri eta arina ekarri bait zuen. Garrantzi handiko pausu bat problemen sailkapenarena izan zen, talde nagusi bi eginez: ukitzaileen problemak eta azaleren problemak, izenok eredu nagusietatik hartzen dituztelarik. Lehen taldeko problemak (kurba bati zuzen ukitzailea egin puntu batean edo maximo eta minimoak kalkulatu) ia guztiz berriak ziren; Matematika zaharrean ez bait dira agertzen, eta deribatuaren bidez ebazten bait dira. Bigarren taldekoak, ordea, Arkimedes-ek formulatuak dira eta integrazioari lotzen dizkiogu gaur egun.

Goian aipaturiko matematikarien artean, Fermat izan zen problema hauen ebazpenetan aurreratuena. Maximo eta minimoen kalkulurako, adibidez, metodo hau eman zuen: A balioa aurkitu, zeinarentzat [F(A + E) - F (A)] / E = 0 den, E = 0 eginda (zatidura lortu ondoren). Deribatuaren itxura badu ere, ez dago limiterik hemen; Fermat-ek polinomioentzat egiten bait du eta hor zatidura zehatza da beti. Integrazioan, gure gaurko

formularen baliokide geometrikoa ezagutzen zuen; Cavalieri, Pascal edo Roberval-en lanetan ere frogatua gutxi gorabehera.

Eta Newton heldu zen

Newton gazteak Matematikako liburuak berekaxa irakurriz Kalkulu-lanetan ari zirenen berri izan zuen eta laster menperatu zituen haien teknikak. Formazio autodidaktiko hau ez da harrigarria, Unibertsitatetan gai horretaz kurtso arruntik ematen ez zela kontutan harturik. Izatekotan, Barrowren laguntza edukiko zuen; bai liburu-hautaketan, eta baita honek urtebetez emandako ikastaldian ere. Dena dela, ezaguna da orduko Newton-en eskutik pasatu zirela eta biren eragin handia izan zuela: Descartes-en Geometria eta Wallis-en " Arithmetica Infinitorum " liburuena, alegia.

Baina Newton-ek 1665-66 urteetan denei aurrea hartu zien; ordurarte inork ez bezala ikusi bait zuen problemen gakoa non zegoen eta konponbidea zein zen: deribatua egiteko erregela bat eman, integrala deribatuaren alderantzizkoa zela erakutsi eta problema desberdinetan aplikatze-bidea adierazi zuen.

Newton-ek kantitate aldakor guztiak denborarekiko neurtzen zituen (denbora uniformeki aldatzen den edozein kantitate dela esan zuen geroago): fluenteak ziren. Aldaketa-abiadurei, aldiz, fluxioak deitzen zien. Kurba laun bat abzisa eta ordenatuaren higidurak sortua da eta bai x eta bai y delakoek beren fluxioak dituzte, x eta y. Kurbaren ekuazioa emanda, fluxioen arteko erlazioa lortu nahi du. Nola lortuko du? x eta y-ren ordez x + x o eta y + y o ipini kurbaren ekuazioan, hasierakoa aprobetxatu berria laburtzeko, o delakoaz zatitu eta gero o hau 0 egin. Metodoa, estiloaz aparte, gaurkoa da, deribatu inplizitua ere egin daitekeelarik.

Adibidez, y = x ^m/n deribatzeko, yn = xm erlazioari aplikatuko dio bere metodoa: (y + y o ) ⁿ = (x + x o ) ^m berdintzaren alde biak binomioaren formulaz tratatu, y ⁿ eta x ^m kenduta o delakoaz zatitu eta gero o hori anulatu ondoren, n y ^n-1 y = m x ^m-1 x erdiesten du. Aski da y-ren ordez x ^m/n ipintzea,

deribatu ezaguna edukitzeko.

Kalkuluaren oinarrizko teorema edo integrazio eta deribazioaren alderantzizkotasuna, Barrow-k formulatu zuen geometrikoki " Lectiones Geometricae " liburuan (1670ean argitaratua), baina ez dirudi horren balioaz jabetu zenik. " Newton-Leibniz-en formula " da haren aurkezpenik errazena: F' = f bada,

edo bestela,

hots, azaleraren abzisarekiko deribatua funtzioa (edo ordenatua) da. Ikus dezagun Newton-en formulazioa. Biz y = f (x) kurba bat eta s = azalera (ABC) (ikus irudia); azalera hau BC zuzenki bertikala paraleloki higitzean sortzen da. Biz x = AB eta egin dezagun ABED paralelogramoa AD = 1 harturik. Orduan, x = azalera (ABDE); azalera hau BE-ren higidurak sorterazten du. Bi azalera horien gehikuntz abiaduren erlazioa, Newton-ek dioenez, BC eta BE-ren erlazioaren berdina da, hau da, s/x = BC/BE = f(x).

Behin hau erabakiz gero deribatzea errazagoa denez, integralen taulak edukiko ditu deribatuenak atzekoz aurrera harturik. Honela, dena den, kurba asko ezin ditu oraindik integratu eta posibilitateak zabaltzeko Wallis-engandik hartutako ideia bati jarraituz zera egin zuen: funtzioen seriezko garapenak kontsideratu eta hauek gaiz gai integratu serie berri bat lortzeko (konbergentzi arazoei kasurik egin gabe, jakina).

(1 + x) ^m -ren hedapenari, m osoa denean, Newton-en binomio deitzen bazaio ere, benetan interesgarria gertatzen da m ez-osoa denean; orduan polinomioa ez eta serie infinitua bait da. m bi zenbaki osoren erdian (1/2, 3/2, ...) dagoeneko kasuaren erantzuna zor zaio Newton-i; koefizienteentzako polinomioen koefizienteek duten erregela bera aplikatzen dela erakutsi bait zuen.

Egiten ari zenari oinarri eman nahian, Newton-ek gehikuntzen erlazioak aipatuko ditu: fluxioa " gehikuntza sortuberrien lehen erlazioa " edo " gehikuntza suntsikorren azken erlazioa " da. Irudiari begiratuz, demagun abzisa apur bat aurreratzen dugula; orduan, azalera gehitu egiten da eta azaleraren eta abzisaren gehikuntzen arteko erlazioa lortu behar da, baina fluxioa " lehen erlazioa " da, higitzen hasi aurretikoa ... Halaber, prozesua atzerantz kontsideratuz gehikuntzak suntsitu, desagertu egiten dira eta " gehikuntza suntsikorren azken erlazioa " da fluxioa. Zehaztu gabeko limitearen ideia susma daiteke honen atzetik.

Ohoreak partitu egin behar

Newton-en lanen artean Kalkuluarekin zerikusia dutenak hauexek dira: " De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas " (1669 inguruan idatzia, 1711n argitaratua), " Methodus Fluxionum et Serierum Infinitorum " (1671n idatzia, 1736an argitaratua), " Tractatus de Quadratura Curvarum " (1693an idatzia, 1704ean argitaratua) eta " Principia "ren lehen orrialdeak (1687). Ikusten denez, hogei urte pasatu ziren erresultatuak lortu eta kaleratu bitartean eta horrela, 1675ean, Leibniz bere aldetik antzeko erresultatuetara iritsi zen. Leibniz-en lehen artikulua 1684ean kaleratu zen " Principia "ri hiru urtez aurrea harturik.

1698an Fatio de Duillier-ek, Newton-en lagunak, liburu bat kaleratu zuen, non honi meritu osoa aitortu zion Leibniz-ek plagioa egin zuela salatuz. Leibniz-ek bere buruaren defentsa egin zuen eta hamar urte pasatu ziren bigarren erasoa Keill-en artikulu batean etorri arte. Artikulu hau Erret Elkarteko aldizkarian atera zen eta Leibniz-ek, elkartekide izanik, 1711n idazkariari arazoa garbitzea eskatu zion.

Elkarteburua Newton zelarik, batzorde bat izendatu zen eta batzordearen erabakia are eta gogorragoa izan zen Leibniz-entzat. Gainera, " Commercium Epistolicum " eskutitz-bilduma argitaratzea erabaki zuten, Leibniz-en aurka. Hauen inguruan eztabaida garraztu egin zen eta Leibniz-en zenbait lagun ere Newton-en errore batzuez ohartu zen. Leibniz-ek, 1714ean, " Historia et origo Calculi differentialis " saioa idatzi zuen bere egia kontatzeko. Bi urte geroago hil arren, Newton-ek erasoka jarraitu zuen.

XX. menderarte erabaki gabe egon da puntu hau, baina Leibniz-en eskuizkribuak aztertu direnean behin betirako aitortu zaio zeukan meritua eta, gaur, biei dagokie Kalkuluaren sortzaile izatearen ohorea. Eztabaidak, hala ere, kalte handiagoa egin zuen Inglaterran: bertako matematikariak eta kontinentekoak aldendu egin ziren eta Kalkuluaren garapena ia osorik Leibniz-en ildotik etorri zen.

Bide berriak eta oinarri sendoak

Kalkuluaren hedapena, oso arina suertatu zen sortuberri ziren aldizkariei esker. " Acta Eruditorum " aldizkarian bakarrik, ehunetik gora artikulu daude Leibniz-en lehenengotik hasi eta hurrengo hogeitabost urteetan; gehienak Leibniz-ek berak eta Bernouilli anaiek idatziak. XVIII. mendean Kalkulua gailurrera helduko zen metodo berri eta aplikazio ugariekin, Euler-en izena bere garaikideen oso gainetik jarri behar delarik. Berarekin batera, bernouillitarren bigarren belaunaldia, D'Alembert eta, beranduago, Lagrange nabarmentzen dira.

Baina bazuen Kalkuluak jatorrizko bekatu bat eta Berkeley apezpiku inglesak gogor salatu zuen 1735ean, " The Analyst " liburuan: arrazonamenduaren oinarrian aipatzen ziren Newton-en " kantitate suntsikorren azken erlazioak " eta Leibniz-en " infinitesimalak " onartezinak ziren errigorearen aldetik. Berkeley-ren hitzetan: " Bigarren edo hirugarren fluxioa eta bigarren edo hirugarren diferentziala irents dezakeenak, ez luke kezkarik agertu behar, ene ustez, Jainkotasunaren arazoetan ", hau da, bata eta bestea sinismen-kontuak dira. Hori bai, lorturiko erresultatuak ez ditu zalantzan jartzen.

Ehun urte lehenago Cavalieri-k "errigorea filosofoen arazoa da eta ez matematikariena " idatzia zuen arren, Kalkulua oinarri sendoetan eraikitzen saiatu ziren matematikariak eta aipagarria da D'Alembert-ek " Encyclopedie "rako limite kontzeptuari emandako garrantzia. XIX. mendearen hasieran Bolzano-k Pragan eta Cauchy-k Parisen limitearen definizio egokia eman zuten (gaurko edozein liburutan dagoenaren baliokidea) eta hura oinarritzat harturik deribatua definitzen da.

Integrala, Cauchy-rekin, deribatuaren alderantzizkoa izatetik limite baten bidez definitzera pasatu zen eta orduan bien arteko alderantzizkotasuna frogatu behar izan zuen. Integrala bere bide propioari jarraitu zitzaion eta Neurriaren teoria delakoa sortu zuen; Lebesgue-k XX. mendearen hasieran burutu zuena hain zuzen. Integralaren definizio orokorra emateaz gain, diferentziazio-teorema lortu zuen, hots, Newton-Leibniz-en teoremaren formulazio modernoa.