La música no és només art, sinó també matemàticament
1987/02/01 Elorza, Aitor Iturria: Elhuyar aldizkaria
Concretament, el so és el que sentim quan una ona sonora arriba a les nostres orelles a través de l'aire. En paraules de la psicologia, el so és la resposta que produeix l'ona sonora en nosaltres com a estímul. Percebem les propietats físiques de l'ona sonora com a característiques del so. Les característiques més importants són el to, la sonoritat i el timbre.
To
En l'escala, si prenem notes cada vegada més exigents, ens sembla que pugem en to DO, RE, EL MEU... Aquest to és característic de la nota i l'altura que percebem en el cas dels sons periòdics està relacionada amb la freqüència de l'ona sonora. Per exemple, la freqüència corresponent a la nota denominada DO Mitjà és de 261.63 Hz. (Hertz = Una oscil·lació per segon).
Sonoritat
La sonoritat, el so, és la força que té en escoltar, relacionada amb la intensitat del so. Encara que la intensitat és mesura en metres quadrats, normalment se sol expressar en decibels. Per exemple, el nivell de soroll d'un cotxe que circula a 80 km/h és d'aproximadament 45-50 dB.
Timbre
La xirula i el tambor poden tocar la mateixa nota amb la mateixa sonoritat, però les melodies no seran les mateixes. La característica que fa que la sensaci??n del so sigui dura, tova, suau, dolça, càlida, fosca, etc. és el timbre. Aquestes diferències sonores es deuen a les propietats físiques de l'ona sonora, però la seva determinació i definició és difícil.
L'objectiu que perseguim és trobar una manera d'analitzar matemàticament els sons, és a dir, poder utilitzar els sons com a objectes matemàtics.
No obstant això, abans hem d'indicar quin tipus d'anàlisi volem realitzar, és a dir, amb quines característiques del so ens interessa treballar. Per a nosaltres el més important és el to o l'altura. Podem aconseguir cançons més interessants mantenint constant la sonoritat (és a dir, el volum) i el timbre i canviant l'altura, que fixant l'altura (amb una sola nota) i canviant la sonoritat i el timbre. En el nostre treball sembla lògic limitar-se a notes musicals, és a dir, al to del so.
Sense concretar molt, vegem una mica aquest concepte. En els sons periòdics hem dit que el to està relacionat amb la freqüència de l'ona sonora. La freqüència f és la inversa del període T, en el qual el període és l'interval de temps de la periodicitat de l'ona sonora, mesurat en cicles per segon i en Hertz.
A cada nota li correspon una freqüència especial. Quan avancem cap endavant en l'escala, DO, RE, EL MEU... la freqüència va augmentant, però mentre la racionalització de l'avanç de la nota puja aritmèticament, la freqüència segueix una progressió geomètrica.
...DO130.81138.59RE146.83155.66MI164.81FA174.61185.00SOL196.00207.65LA220.00233.08SI246.94DO261.63...La freqüència es duplica per octava. Atès que en cada octava hi ha 12 semitonos, la freqüència de cada semitono s'obté multiplicant la freqüència del semitono anterior = 12 ton2 pel factor constant 1.0594631. Les freqüències així definides no són reals sinó físiques i pròximes. Però aquesta aproximació és bastant bona, l'escala que es forma amb aquestes freqüències, anomenada escala tenperada.
Després d'aprofundir una mica en el concepte de to, vegem com podem analitzar-lo. Intentar expressar-se gràficament sembla lògic. En els pentagrames, per exemple, dibuixem notes de diferent to i durada. Cada nota determina dos valors i viceversa; queda definit per dos valors. Els valors són el to i la durada. Podem intentar dibuixar aquests dos valors en uns eixos de coordenades. En l'eix d'abscisses indicarem el temps i en les ordenades l'altura. Així, cadascuna de les notes del pentagrama queda representada per una recta dels eixos de coordenades.
Les notes, quant a la seva durada, poden ser rodones, blanques, negres, corxeres, semicorxeres, etc., on cada durada és la meitat de l'anterior. En abscisses, per exemple, podem prendre com a unitat la mitja corxera. Si es necessita una major precisió, només es pot prendre una altra unitat de temps menor. Lògicament, el temps negatiu no s'admet, per la qual cosa les abscisses es van avançant en l'eix positiu.
En les ordenades, la unitat serà semitono. N'hi ha prou amb començar en la IT de 7'5 octava i acabar-la en la DO, ja que l'extensió musical del piano és menor i les extensions d'altres instruments coneguts. Com el punt O podem prendre la nota DO central, per exemple, i a partir d'aquí dibuixarem totes les altres notes. L'escala tibada així determinada, l'altura de cada nota
Utilitzant aquesta correspondència o expressió, a cada cançó (o millor dit, a cada melodia, considerant que qualsevol cançó es compon de diferents melodies) li correspon un gràfic, i viceversa, cada gràfic representa una melodia.
Aquesta correspondència és bijetiva, és a dir, un gràfic representa a una sola melodia, alhora, al revés, la melodia determina el gràfic corresponent. Si la sensaci??n que ens dóna la melodia és que les notes van pujant (és a dir, que són cada vegada m??s exigents), el gr??fico tambi?Šn va pujant i si va baixant les notes, el gr?Šfico va cap avall, és a dir, els versos corresponents a aquestes notes van cap avall.
Si ens sembla una melodia contínua, aquesta continuïtat es transmetrà a la gràfica. Així mateix, si la melodia és discontínua (per exemple, silencis), el gràfic serà discontinu. En altres paraules, la informació que ens proporciona el gràfic és la mateixa informació que la melodia. La diferència radica en el fet que la informació que veiem sigui més comprensible o fàcil de treballar.
En essència, per a facilitar les coses, considerem que no es poden considerar simultàniament 2 notes, és a dir, si dues notes es troben en la mateixa vertical, és a dir, en el mateix interval de temps, suposarem que aquestes notes són notes de dos gràfics diferents. Així, el gràfic serà un injetivo, però d'altra banda no ha de ser suprajectivo, ja que els silencis melòdics en el gràfic es converteixen en espais buits.
Aquest aprenentatge que estem analitzant és només una representació gràfica similar al pentagrama. Qualsevol cançó dibuixada en els pentagrames correspon a un gràfic. Les notes que s'utilitzen en els pentagrames per a indicar que cal tocar una cançó més forta o més feble, més lleugera o més lenta, etc., o tots els símbols (enllaços, puntets, etc.) poden tenir un símbol especial en el gràfic.
Així, en essència, qualsevol cançó pot ser llegida. Però, encara que teòricament es pot fer, en la pràctica és molt difícil. Prenent qualsevol cançó, vist el gràfic que li correspon, és difícil notar-la.
L'avantatge d'aquesta expressió és que qualsevol melodia pugui ser analitzada matemàticament mitjançant el gràfic corresponent. Per exemple, podem definir certes propietats com: diem que la melodia és alta quan la mitjana aritmètica de l'altura de totes les notes supera un valor fixat o, per exemple, si la mitjana de durada de totes les notes és inferior a una constant, diem que la melodia és ràpida, etc. Dit d'una altra manera, podem analitzar matemàticament les cançons (mitjançant els seus corresponents gràfics). En qualsevol cas, per curiositat, podem sentir el contrari de qualsevol cançó (la del seu gràfic), el vers, tots dos alhora, etc.
Sobre la base d'aquesta idea, a tall d'exemple, tenim aquests 2 senzills programes d'ordinador. En el primer, amb la funció en la línia 10, mentre s'està dibuixant el gràfic, se sent la melodia i el segon, d'alguna manera, fa el contrari. La melodia, donada en 2 números per cada nota a través de la DATA, apareix simultàniament el gràfic corresponent. Aquests dos programes són molt senzills. El segon, per exemple, no admet silenci.
Tot el realitzat fins ara, els models tècnics i els programes, en la pràctica, no tenen gran valor. Per a poder veure el seu gràfic a través de qualsevol cançó, necessitem una primera partitura, després convertir les notes en dos números (altura i durada) i finalment teclejar-les en l'ordinador. A més d'un treball difícil i laboriós, l'error és molt senzill. Seria molt més convenient introduir la cançó directament en l'ordinador.
Per exemple, seria molt beneficiós fer una cosa així: gravar la cançó en una cinta, ficar aquesta cinta en un cassette que d'alguna manera estaria unida a l'ordinador, i una vegada separades les diferents melodies de la cançó, donar les ordres necessàries a l'ordinador perquè aquestes melodies i els seus gràfics apareguin simultàniament en la pantalla. Però això ja entra en el camp de la informàtica.
Si tinguéssim l'oportunitat de fer-ho, avançaríem un pas més: no sols per a analitzar cançons, sinó per a crear noves cançons, és a dir, perquè l'ordinador inventés noves cançons. Bàsicament, dibuixarem un gràfic aleatori, és a dir, amb l'altura i durada dels rectangles aleatoris. Però en sentir la seva melodia veiem que no té sentit, no li trobem significat. S'escolta com una successió de notes no relacionades.
Què caldria fer perquè les melodies (és a dir, els gràfics) tinguin sentit o significat? La pregunta a respondre és: Què té el gràfic de la melodia "Ikusi mendizaleak", que no té un gràfic d'atzar, perquè la cançó tingui significat? Si responguéssim a aquesta pregunta, l'ordinador faríem un programa per a dibuixar únicament gràfics raonables i a través d'aquests gràfics (és a dir, mitjançant la melodia) podríem crear noves cançons. En qualsevol cas, encara queda molt per fer.
