Grigori Perelman, matemático que renunciou ao dominio Fields

2009/09/01 Roa Zubia, Guillermo - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

(Foto: Ikerbasque)

O ruso Grigori Perelman non quere ser un referente de matemáticas. Ademais, non lle gusta falar cos medios de comunicación, quere vivir tranquilo. Iso é o que lle dixo ao matemático inglés sir John Ball cando renunciou á medalla Fields.

Naquela época, no verán de 2006, Ball era o líder da International Mathematical Union (IMU) e, por tanto, da comisión que designa aos gañadores das medallas Fields. A Comisión proclamou vencedor a Perelman, pero cando lle informaron, Perelman renunciou ao premio. Ball sorprendeuse. Con todo, a comisión non cambiou de opinión.

Un problema do milenio

A valiosa achega de Perelman foi atopar a solución a un problema de máis de cen anos. En 1904, o matemático francés Henri Poincaré propuxo un teorema que non demostrou. Non son teoremas, senón conxecturas, pero cando alguén atopa una proba, entón si, convértense en teoremas. E iso é o que fixo Perelman, descubrindo a proba matemática da conxectura de Poincaré.

O reto da conxectura de Poincaré non é (non era) o único deste tipo, pero paira moitos expertos, o XX. Era o maior problema matemático que o século XX deixou sen resolver. Con todo, existe una lista completa deste tipo de problemas e a Fundación Clay ofrece un millón de dólares estadounidenses paira o matemático que resolve un problema da lista.

No verán de 2006, Sir John Ball era o líder da organización IMU e, por tanto, da comisión que designa aos gañadores das medallas Fields.

Iñaki Eskubi

Normas estritas. Por unha banda, paira dar o visto e prace á solución, a Fundación Clay solicita que a solución estea publicada nunha revista especializada cun sistema de xuíces de referencia. Doutra banda, a solución debe durar polo menos dous anos sen cancelarse. A obra de Perelman non cumpría a primeira norma, xa que enviou o arXiv ao arquivo electrónico. É un escaparate sen xuíces dos borradores de artigos científicos. Todos os bosquexos que se envían non se converten en artigos, uns si e outro non. O traballo de Perelman, por exemplo, non. E por iso non cumpría os requisitos do premio dun millón de dólares. Pero dálle igual, Perelman non tiña intención de conseguir ese premio.

Só un borrador

Nos artigos publicados no arquivo ArXiV, Perelman non publicou todos os detalles da proba de conxectura. Era un artigo dunhas 70 páxinas no que se publicaron as ideas e estratexias xerais da proba. Era un borrador moi bo, pero á fin e ao cabo era un borrador. Faltaban detalles.

Outros matemáticos tentaron completar o que faltaba. Bruce Kleiner e John Lott publicaron unhas notas sobre os artigos de Perelman ( Notes on Perelman's papers ). Os chineses Huai-Dong Cao e Xi-Ping Zhu publicaron una proba supostamente exhaustiva ( A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures ), e en xullo o estadounidense John Mmanifan e o chinés Gang Tian deron un terceiro traballo no que se confirmou a proba da Progresation.

Os títulos dos tres artigos son significativos, o primeiro e o terceiro foron publicados coa intención de realizar novas achegas, pero os autores do segundo, Cao e Zhuk, propuxeron atopar a proba definitiva da conxectura (en parte baseáronse no artigo primeiro, pero sen mencionar a Kleiner e Lott).

Andrei Okounkov, Wendelin Werner e Terence Tao, gañadores da medalla Fields 2006.

ICM Madrid 2006.

As datas de publicación dos artigos eran aínda máis significativas: Publicáronse en maio, xuño e xullo de 2006. Hai que ter en conta que as medallas Fields debían ser entregadas en agosto de 2006 no ICM de Madrid. É moi probable que ese verán Cao e Zhuk teñan a esperanza de gañar a medalla Fields.

Con todo, o comité encargado de distribuír as medallas Fields 2006 decidiu entregar o premio a Perelman, xa que ao final tiña o mérito da proba. Outro tres premiados: Wendelin Werner, Terence Tao e Andrei Okounkov (o tres premiados). Os nomes dos membros da Comisión mantivéronse en segredo, formado por nove prestixiosos matemáticos, sendo o único membro coñecido o inglés John Ball, por ser o líder da organización IMU. Así que Ball era o responsable de falar con Perelman.

Non

John Ball viaxou a San Petersburgo e tentou convencer a Perelman durante dous días. En balde. "Foi moi agradable comigo", explicou Ball no seu discurso en Bilbao, "pero non conseguín cambiar de opinión". Con todo, una das medallas do 2006 sería paira Perelman.

Pero tras recibir a negativa de Perelman e non moito máis tarde, Ball tivo una gran sorpresa. Xornalistas do semanario New Yorker tamén falaron con Perelman e preparaban un artigo paira publicalo antes da entrega dos premios. No artigo explicábase que os chineses Cao e Zhu querían facerse co premio de Perelman coa axuda do matemático chinés Shing Tung Yau, que tamén tiña una medalla Fields.

Grigori Perelman renunciou á medalla Fields.

ICM Madrid 2006.

Ball pediulles que esperasen polo menos até a entrega do premio, pero os de Nova York contestáronlle que non, que tiñan dereito a publicar ese traballo xornalístico. Con todo, o artigo foi publicado o 28 de agosto, seis días despois da entrega de premios das medallas Fields.

Cao e Zhuk non obtiveron a medalla Fields, mesmo tiveron que publicar un ratum paira recoñecer publicamente que no artigo aproveitáronse da obra de Kleine e Lott.

John Balli, ao contar a historia, fixéronlle una pregunta importante: é correcta a proba de Perelman? "É difícil dicir, pero, mentres non se demostre o contrario, parece que si", afirmou. Ball non ten noticias de Perelman. "É un gran matemático", afirmou. "Espero seguir traballando coas matemáticas". Iso si, seguro que nunca recibirá a medalla nin o diñeiro.

Traballo sobre a esfera

A conxectura de Poincaré parece moi sinxela. Imaxinamos a superficie dunha esfera, que se atopa no espazo tridimensional, pero a tratamos como una superficie bidimensional, é dicir, como una superficie (por exemplo, paira facer o mapa do mundo). Calquera curva pechada debuxada sobre esta superficie pode reducirse até agruparse nun punto. Non é posible en todas as demais figuras xeométricas, pero si en todas as que son equivalentes á esfera. Nunha esfera convencional estaba demostrado que é así, pero non estaba demostrado no caso dunha esfera de catro dimensións (en definitiva, nunha superficie de tres dimensións). É curioso, pero estaba demostrado en dimensións superiores e non en catro. Poincaré propuxo que neste caso tamén se cumpre e Perelman conseguiu demostralo despois dun século.

(Foto: Guillermo Roia)

A proba perelmana estaba baseada na idea doutro matemático: Richard Hamilton. Hamilton desenvolveu una ecuación paira calcular a evolución da curva pechada durante o proceso de redución. O método paira facer fronte ao problema chámase fluxo de Ricci e a ecuación é moi parecida á que serve paira seguir o fluxo da calor.

Hamilton non puido demostrar a conxectura co fluxo de Ricci, pero Perelman si. Ademais, o traballo de Perelman demostrou un aiero máis amplo que inclúe a conxectura de Poincaré: Conxectura da geometrización de Thurson. Por tanto, non é de estrañar que moitos matemáticos consideren a Grigori Perelman como un gran mestre.