Grigori Perelman, matemático que renunció al dominio Fields

2009/09/01 Roa Zubia, Guillermo - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

(Foto: Ikerbasque)

El ruso Grigori Perelman no quiere ser un referente de matemáticas. Además, no le gusta hablar con los medios de comunicación, quiere vivir tranquilo. Eso es lo que le dijo al matemático inglés sir John Ball cuando renunció a la medalla Fields.

En aquella época, en verano de 2006, Ball era el líder de la International Mathematical Union (IMU) y, por tanto, de la comisión que designa a los ganadores de las medallas Fields. La Comisión proclamó vencedor a Perelman, pero cuando le informaron, Perelman renunció al premio. Ball se sorprendió. Sin embargo, la comisión no cambió de opinión.

Un problema del milenio

La valiosa aportación de Perelman fue encontrar la solución a un problema de más de cien años. En 1904, el matemático francés Henri Poincaré propuso un teorema que no demostró. No son teoremas, sino conjeturas, pero cuando alguien encuentra una prueba, entonces sí, se convierten en teoremas. Y eso es lo que hizo Perelman, descubriendo la prueba matemática de la conjetura de Poincaré.

El reto de la conjetura de Poincaré no es (no era) el único de este tipo, pero para muchos expertos, el XX. Era el mayor problema matemático que el siglo XX dejó sin resolver. Sin embargo, existe una lista completa de este tipo de problemas y la Fundación Clay ofrece un millón de dólares estadounidenses para el matemático que resuelve un problema de la lista.

En verano de 2006, Sir John Ball era el líder de la organización IMU y, por tanto, de la comisión que designa a los ganadores de las medallas Fields.

Iñaki Eskubi

Normas estrictas. Por un lado, para dar el visto bueno a la solución, la Fundación Clay solicita que la solución esté publicada en una revista especializada con un sistema de jueces de referencia. Por otro lado, la solución debe durar al menos dos años sin cancelarse. La obra de Perelman no cumplía la primera norma, ya que envió el arXiv al archivo electrónico. Es un escaparate sin jueces de los borradores de artículos científicos. Todos los bocetos que se envían no se convierten en artículos, unos sí y otros no. El trabajo de Perelman, por ejemplo, no. Y por eso no cumplía los requisitos del premio de un millón de dólares. Pero le da igual, Perelman no tenía intención de conseguir ese premio.

Sólo un borrador

En los artículos publicados en el archivo ArXiV, Perelman no publicó todos los detalles de la prueba de conjetura. Era un artículo de unas 70 páginas en el que se publicaron las ideas y estrategias generales de la prueba. Era un borrador muy bueno, pero al fin y al cabo era un borrador. Faltaban detalles.

Otros matemáticos intentaron completar lo que faltaba. Bruce Kleiner y John Lott publicaron unas notas sobre los artículos de Perelman ( Notes on Perelman's papers ). Los chinos Huai-Dong Cao y Xi-Ping Zhu publicaron una prueba supuestamente exhaustiva ( A Complete Proof of the Poincaré and Geometrization Conjectures ), y en julio el estadounidense John Mmanifan y el chino Gang Tian dieron un tercer trabajo en el que se ha confirmado la prueba de la Progresation.

Los títulos de los tres artículos son significativos, el primero y el tercero fueron publicados con la intención de realizar nuevas aportaciones, pero los autores del segundo, Cao y Zhuk, propusieron haber encontrado la prueba definitiva de la conjetura (en parte se basaron en el artículo primero, pero sin mencionar a Kleiner y Lott).

Andrei Okounkov, Wendelin Werner y Terence Tao, ganadores de la medalla Fields 2006.

ICM Madrid 2006.

Las fechas de publicación de los artículos eran aún más significativas: Se publicaron en mayo, junio y julio de 2006. Hay que tener en cuenta que las medallas Fields debían ser entregadas en agosto de 2006 en el ICM de Madrid. Es muy probable que ese verano Cao y Zhuk tengan la esperanza de ganar la medalla Fields.

Sin embargo, el comité encargado de distribuir las medallas Fields 2006 decidió entregar el premio a Perelman, ya que al final tenía el mérito de la prueba. Otros tres premiados: Wendelin Werner, Terence Tao y Andrei Okounkov (los tres premiados). Los nombres de los miembros de la Comisión se mantuvieron en secreto, formado por nueve prestigiosos matemáticos, siendo el único miembro conocido el inglés John Ball, por ser el líder de la organización IMU. Así que Ball era el responsable de hablar con Perelman.

No

John Ball viajó a San Petersburgo e intentó convencer a Perelman durante dos días. En vano. "Fue muy agradable conmigo", explicó Ball en su discurso en Bilbao, "pero no conseguí cambiar de opinión". Sin embargo, una de las medallas del 2006 sería para Perelman.

Pero tras recibir la negativa de Perelman y no mucho más tarde, Ball tuvo una gran sorpresa. Periodistas del semanario New Yorker también hablaron con Perelman y preparaban un artículo para publicarlo antes de la entrega de los premios. En el artículo se explicaba que los chinos Cao y Zhu querían hacerse con el premio de Perelman con la ayuda del matemático chino Shing Tung Yau, que también tenía una medalla Fields.

Grigori Perelman renunció a la medalla Fields.

ICM Madrid 2006.

Ball les pidió que esperaran al menos hasta la entrega del premio, pero los de Nueva York le contestaron que no, que tenían derecho a publicar ese trabajo periodístico. Sin embargo, el artículo fue publicado el 28 de agosto, seis días después de la entrega de premios de las medallas Fields.

Cao y Zhuk no obtuvieron la medalla Fields, incluso tuvieron que publicar un ratum para reconocer públicamente que en el artículo se aprovecharon de la obra de Kleine y Lott.

John Balli, al contar la historia, le hicieron una pregunta importante: ¿es correcta la prueba de Perelman? "Es difícil decir, pero, mientras no se demuestre lo contrario, parece que sí", afirmó. Ball no tiene noticias de Perelman. "Es un gran matemático", afirmó. "Espero seguir trabajando con las matemáticas". Eso sí, seguro que nunca recibirá la medalla ni el dinero.

Trabajo sobre la esfera

La conjetura de Poincaré parece muy sencilla. Imaginamos la superficie de una esfera, que se encuentra en el espacio tridimensional, pero la tratamos como una superficie bidimensional, es decir, como una superficie (por ejemplo, para hacer el mapa del mundo). Cualquier curva cerrada dibujada sobre esta superficie puede reducirse hasta agruparse en un punto. No es posible en todas las demás figuras geométricas, pero sí en todas las que son equivalentes a la esfera. En una esfera convencional estaba demostrado que es así, pero no estaba demostrado en el caso de una esfera de cuatro dimensiones (en definitiva, en una superficie de tres dimensiones). Es curioso, pero estaba demostrado en dimensiones superiores y no en cuatro. Poincaré propuso que en este caso también se cumple y Perelman ha conseguido demostrarlo después de un siglo.

(Foto: Guillermo Roa)

La prueba perelmana estaba basada en la idea de otro matemático: Richard Hamilton. Hamilton desarrolló una ecuación para calcular la evolución de la curva cerrada durante el proceso de reducción. El método para hacer frente al problema se llama flujo de Ricci y la ecuación es muy parecida a la que sirve para seguir el flujo del calor.

Hamilton no pudo demostrar la conjetura con el flujo de Ricci, pero Perelman sí. Además, el trabajo de Perelman demostró un aiero más amplio que incluye la conjetura de Poincaré: Conjetura de la geometrización de Thurson. Por lo tanto, no es de extrañar que muchos matemáticos consideren a Grigori Perelman como un gran maestro.