A nota máis famosa do bordo

1993/02/01 Angulo, Patxi Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

O resultado máis coñecido que se lle atribúe a Pitágoras ou á súa escola é a fórmula que une os catetos de triángulos rectos co hipotenus, o coñecido Teorema de Pitágoras: “a suma de cadrados encadeados en triángulos rectos é igual ao cadrado da hipotenusa”. Os resultados exipcios e babilónicos coñecíano e usaban hai tempo.

Pero mentres eles utilizábano paira resolver problemas particulares (é dicir, só sabían que nalgúns casos cumpríase), os gregos estableceron que a igualdade era útil paira todos os casos. Pitágoras estivo moito tempo en Fenicia e Exipto. Non sería de estrañar, por tanto, que aprendese dos teoremas babilónicos e exipcios. Por exemplo, os exipcios usaban una corda dividida en 12 partes iguais paira formar ángulos rectos. E é que o triángulo con lados de 3, 4 e 5 era rectilíneo.

Algebraikoki pódese escribir como, si x, e son encadeados e z hipotenus,

x2 ⁺ y2 = ^z2

Pódense atopar infinitos valores dos números x, e, z que cumpren esta igualdade. Noutras palabras, pódese construír infinito triángulo recto.

a.C. VIN. Desde o século XIX até o século XX. Pasaremos de 100 a 400 anos. Naquela época, en Grecia, vivía Diofanto (Aínda non sabemos o ano en que vivía. O único dato que sabemos é que viviu 84 anos, como se pode deducir do seu falecemento). O maior traballo de Diofanto foi “Aritmética”. Até a data chegou a metade. En moitos problemas Diofanto establecía una condición á hora de buscar solucións: as solucións deben ser números naturais (nin fraccións nin decimais). Na actualidade, a análise que busca solucións comúns denomínase diofántico e ocupa un amplo campo da teoría numérica. Una solución diofántica da igualdade superior é a utilizada polos exipcios:

32 ⁺ 42 = ⁵²

En realidade, os tríos que cumpren a ecuación pitagórica son infinitos:

x = m . n, e = m2 ^- n2/2, z ⁼ m2 + n2/2,

s/n sendo (m,n) = 1.

Una versión da Aritmética de Diofanto, a adaptación do grego ao latín realizada por Bachet Mèziriac, chegou a mans do avogado Pierre Fermat no século XVII. P. Fermat naceu preto de Tolosa en 1601. A pesar de ser avogado, era afeccionado ás matemáticas e dedicábase moito tempo ás matemáticas, cuxas achegas foron maxistrais.

O traballo de Diofanto non era práctico paira os matemáticos aplicados e era excesivamente algorítmico paira os especuladores. Con todo, Fermat foi capaz de atraer e converteuse no creador da moderna teoría numérica. As diferentes formas do tema cativaron a Fermat por números cheos e amigos, números imaxinarios, cadrados máxicos, tríos pitagóricos, teorías de divisibilidad e sobre todo os números primos.

Fermat, como moitos lectores, era costume escribir notas nos bordos dos libros. Naqueles extremos deixou escritos moitos teoremas, algúns demostrados e outros sen probas. Despois, todos os teoremas ou menos un foron probados ou desmentidos. VIII de Diofanto. xunto ao problema, no que se solicitaban solucións normais de ecuación pitagórica, Fermat escribiu aproximadamente: “Pola contra, non se pode dividir un cubo en dous cubos, o 4º reverso nas dúas terceiras partes e, en xeral, calquera reformado de máis de dous en dous verdes do mesmo grao. Descubrín una demostración sorprendente deste teorema xeral, pero non entra neste bordo”.

Noutras palabras, o último teorema de Fermat di que cando n é maior de 2,

xn ⁺ yn = ^zn

A ecuación non ten solución normal.

Paira n = 3, pódese realizar a figura xeométrica do problema. Formar un cubo cunhas unidades cúbicas, outro cubo con outras unidades cúbicas. Si coas unidades cúbicas que forman estes dous cubos tratas de formar un cubo máis grande, non o conseguirás.

Iso é o que nos di o teorema. Si chámaselle último teorema, non é porque foi o último feito por Fermat, senón porque é o último que queda sen demostrar nos que fixo. En 1908 o doutor Walfskehel ofreceu un premio de 100.000 marcos paira quen demostrase o teorema. A vixencia do premio finalizará en 2007.

Pierre Fermat.

O teorema de Fermat está demostrado paira moitos valores de n, pero non paira todos. Con todo, os resultados que se coñecen até o momento apuntan a que a afirmación de Fermat é certa, debido principalmente aos novos resultados e métodos obtidos polo matemático alemán Faltings en 1984. Faltas paira cada n maior que 2

xn ⁺ yn = ^zn

Demostrou que o número de triplos x, e, z que cumpren a igualdade era finito.

Os esforzos realizados paira resolver este problema deron lugar a desenvolvementos matemáticos máis grandes e importantes que os realizados na antigüidade paira resolver o tres problemas clásicos. En moitos casos, os resultados non esperados foron satisfactorios.

Os que estudaron a vida de Ferma divídense en dous grupos: uns creen que Fermat probou realmente o teorema e outros creen que non tiña probas ou que a súa demostración non era correcta.