O gran templo de Benares

1992/10/01 Angulo, Patxi Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

A sacra cidade de Benares atópase na desembocadura do río Ganges. Segundo a lenda, no gran templo de Benares, baixo a cúpula que representa o centro do mundo, atópase una adoite de prata con tres agullas de diamante. Na creación, o deus meteu 64 discos de diferente diámetro nunha agulla, desde o maior situado sobre a bandexa até o máis pequeno situado na punta da pila. Fórmase así a torre de Brahman. Os sacerdotes cambian os discos dunha agulla a outra constantemente día e noite, segundo as normas fixas e inmutables de Brahman, é dicir, os discos deben cambiarse dun nun e non se pode colocar un disco sobre outro máis pequeno. O día en que os 64 discos cambian da agulla que os deuses puxeron ao crear o mundo a unha das outras dúas, ese día a torre, o templo e os brahmandarras converteranse en po e cun gran dunbots todo o mundo desaparecerá.

Esta vella lenda exponnos un problema: calcular o día en que o mundo ten que desaparecer. Paira iso debemos atopar o menor número de movementos necesarios paira realizar o cambio. Con todo, ademais de limitar este día, este problema expón outro aspecto que consideramos máis interesante: o método de cálculo. De feito, a lenda do templo de Benares é un bo exemplo de investigación. Este xogo, ademais do seu carácter motivador, é un exemplo dun problema que se adapta aos diferentes ritmos de aprendizaxe dos alumnos, podendo levar ritmos lentos e rápidos á vez.

Non fai falta ir a Benares paira xogar este tipo de xogos. Nunha tablilla colócanse tres cuñas e só se necesitan discos de madeira de distinto tamaño, ou nunha folla represéntanse tres círculos e obtéñense moedas de diferente tamaño.

Suxestións didácticas

Para que ao principio os alumnos aprópiense ben do xogo e da norma, falarán con menos moedas ou discos. Nesta primeira etapa darase prioridade ás normas e non ao número de movementos.

A segunda fase consistirá en dúas, tres, catro, cinco discos. Contabilizarán o número de movementos necesarios paira cambiar de paletilla en cada caso. A continuación compararanse os resultados obtidos por cada alumno cos obtidos polo resto.

Número de discos 123456Mínimo número de movilidad1371531...Táboa 1.

Na terceira fase indicaráselles que deben realizar o cambio co menor movemento posible e repetirán os exercicios da fase anterior. Volverán comparar os resultados e gardaranos nunha táboa.

No seguinte paso advertirase aos alumnos de que non é posible utilizar o método experimental paira calcular o menor número de movementos cando aumenta o número de discos. Por exemplo, pódeselles pedir que modifiquen a torre de sete discos. Dada a dificultade, débese animar aos alumnos a buscar a fórmula ou modelo matemático que nos dea o menor número de movementos paira calquera número de discos.

Paira iso pediráselles que analicen a relación entre os discos e o número de movementos, así como a relación entre o número de movementos. Comprobaranse as respostas, propostas, ideas, ... Se fose necesario, faráselles una serie de suxestións: diferenza entre cantidades consecutivas, como obter una cantidade coñecendo a anterior,...

1 = 2 -1

3 = 2 x 2 - 1

7 = 2 x 2 x 2 - 1

15 = 2 x 2 x 2 x 2 -1

31 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 - 1

Por:

Seguindo este camiño obterán fórmulas paira os primeiros casos antes de tarde (Táboa 3). De aí pasaremos a dar a fórmula xeral, completando nalgúns casos os cálculos.

Número de discos 12345678910Número de movementos 137153163txika2 1 - 12 2 - 12 3 - 12 4 -12 5 - 12 6 - 1

Volvendo á lenda, o menor número de movementos necesario paira cambiar os 64 discos por agullas, segundo a fórmula obtida, é de 2 64 – 1. Una vez realizado o cálculo,

18 3 446.744 2 073.709 1 551.615

Obtemos o número. Literalmente: dezaoito trillones, catrocentos corenta mil, setecentos corenta e tres billóns, sesenta e tres mil, setecentos nove millóns, cincocentos cincuenta e cinco mil, seiscentas quince (esa é a cifra de galgas que aparece na lenda do xadrez).

Supondo que necesitan un segundo paira realizar cada movemento, e actuando constantemente, necesitarían 584.942 1 417.200 anos, aproximadamente, paira levar a cabo todo o cambio. Tendo en conta que a Terra ten 3.000 millóns de anos, non podemos dicir que esteamos en perigo.

En base ao anterior, podemos inventar outras torres que limiten a duración do mundo. Seguen as mesmas normas fixas e inalterables.

Torre de Xiva-Vixun

Os discos da torre de Brahman se numeran de menor a maior. Impares na agulla esquerda

e párelos sitúanse na dereita. O obxectivo é deixar párelos á esquerda e os impares á dereita (empezar con poucos discos).

Torre de Allah-Jainko-Kung Ts

O número de discos debe ser múltiple de tres. Introdúcense en tres agullas. O obxectivo nesta ocasión é pasar os discos da esquerda ao centro, os do centro á dereita e os da dereita á esquerda.

Torre dos ateos

Os discos distribúense aleatoriamente nas agullas (una, dúas ou tres), nesta distribución os discos

poden quedar en calquera orde. Coas normas fixas e inmutables de sempre, todos os discos deben estar ordenados nunha agulla.