Paradoxes (et II)

1991/11/01 Angulo, Patxi Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Y a-t-il de la place pour plus ?

Imaginez que le lecteur a toutes ses chambres occupées dans un hôtel normal. Un matin arrive un voyageur demandant une chambre. L'accueil refuse en disant qu'il n'y a pas de chambre. Situation typique.

Pensez maintenant à un hôtel incroyable. Cet hôtel dispose de chambres infinies et toutes pleines. Un passager est arrivé et l'hôte, avec plaisir, dit: nous avons toutes les chambres pleines, mais nous chercherons une chambre pour vous. Que fera le réceptionniste pour donner une chambre au voyageur si tous sont pleins ?

De plus, imaginez qu'un groupe infini arrive le même jour pour participer à un événement. Maintenant, le nombre de locataires à installer est infini. Cependant, l'accueil, grâce à l'expérience, a été bien adapté et a placé tous les locataires dans chaque chambre. Comment l'avez-vous obtenu?

Ces paradoxes sont fermement ancrés dans la théorie des nombres transfinis de Georg Cantor, présenté pour la première fois dans les années 1920 par le mathématicien allemand David Hilbert. Le mathématicien Georg Cantor, lui aussi allemand, a été le premier à trouver la bonne méthode pour surmonter les paradoxes que les groupes infinis généraient depuis l'Antiquité. Ces paradoxes de l'infini existaient aussi dans l'ancienne Grèce des Zénons d'Elie.

En 1634, Galileo, dans son livre Conversations sur les nouvelles sciences, en enquêtant sur un problème similaire à l'hôtel infini, a compris que les chiffres de carrés de nombres naturels et de nombres naturels étaient infinis; par la bijouterie n´n 2, il a établi que les deux ensembles avaient le même nombre d'éléments. Cependant, il ne s'est pas rendu compte en se basant sur les postulats d'Euclide (tout est la somme de ses parties). De son côté, Cantor a inclus dans la définition de l'ensemble infini une correspondance individuelle: un ensemble infini est celui qui peut être mis dans une correspondance individuelle avec une partie ou son sous-ensemble.

Ainsi sont apparus les nombres transfinis représentant le cardinal (nombre d'éléments) des ensembles infinis. Le premier numéro transfini est N0 (l'éléph-zéro) et représente le nombre de nombres normaux.

La résolution de nos paradoxes est basée sur la définition d'ensembles infinis. Dans la première, la personne d'accueil passera au locataire de la chambre 1 à la chambre 2, celle de 2 chambres à 3, celle de 3 chambres à 4 chambres et ainsi de suite à tous les locataires qu'il y a et celle qui est venue à la chambre 1. Les chambres et les locataires à l'infini hôtel sont N0, après avoir donné la chambre au nouveau locataire le nombre de locataires sera N 0 + 1, tandis que celui des chambres n'a pas varié N0 et pourtant N 0 + 1 = N0.

Dans la deuxième, l'accueil conduira le locataire de 1 chambre à 2 chambres; 2 chambres à 4 chambres; 3 chambres à 6 chambres; 4 chambres à 8 chambres, etc. (n´2n). Ainsi, les chambres 1, 3, 5, 7, 9, ... seront libres et introduiront de nouveaux locataires infinis (n´2n - 1). A cette occasion, le nouveau nombre de locataires est N0 + N0 et le nombre de locataires est N0. Par conséquent N0 + N0 = N0.

Comme on le voit, les postulats d'Euklides ne peuvent s'appliquer à des ensembles infinis. Les lois de l'arithmétique commune ne sont pas respectées.

A barbe le barbier?

Dans un petit village vit un seul barbier. Votre métier est de se raser tous ceux qui ne se rasent pas. Le barbier est délabré parce qu'il ne sait pas s'il doit enlever la barbe.

Et c'est qu'il est logique de retirer la barbe lui-même, mais si vous vous accrochez, il ne répond pas à la condition de pouvoir se raser. Et si la barbe n'est pas retirée, selon la condition, la barbe devrait être retirée. Ce n'est pas un problème de barbier. Que devez-vous faire ?

Paradoxe publié par le philosophe anglais Bertrand Russell en 1918. Dans des mots humbles, dans le village il y a deux sortes de personnes: celles qui se rasent et ne se retirent pas. La vraie question est de quel groupe est le barbier?. La vérité est que le barbier ne peut pas exister parce que son existence conduirait à des conséquences contradictoires.

Cependant, la question n'est pas si simple, car la structure est similaire à l'autre paradoxe de Russell, les ensembles qui sont des éléments de lui-même. L'essence de ce paradoxe est de reconnaître que chaque propriété ou description correspond à un ensemble. Par exemple, on peut définir l'ensemble des satellites que la Terre avait il y a 100 ans, son seul élément étant la lune. Cependant, l'ensemble des satellites artificiels manque d'éléments. Cependant, il existe (ensemble vide). Le paradoxe de Russell se réfère à des ensembles qui sont ou non des éléments de lui-même. Par exemple, l'ensemble des couleurs de l'arc-en-ciel n'est pas un élément de l'ensemble (de sa tête), mais un ensemble. Cependant, l'ensemble des ensembles avec plus de 10 éléments a plus de 10 éléments.

Il est donc un élément de lui-même. Si nous appelons ensemble H, l'ensemble des oiseaux, h, est leur élément; l'ensemble des rivières, i aussi; celui des automobiles, k; celui des poissons, a; celui des lettres, l; celui des personnes, p; celui des chiens, z; celui des vaches, b; celui des heures, ou; celui des montagnes, m; celui des téléphones, t; …, c'est-à-dire:

H = {h,i,k,l,p,z,b,o,m,t,...}

Par conséquent, le même H a plus de 10 éléments

H = {h,i,k,l,p,z,b,o,m,t,H,...}.

Revenons aux groupes qui ne sont pas considérés comme des éléments. La question est: est l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas des éléments d'eux-mêmes? Comme il se passait avec le barbier, et en termes humbles, l'ensemble de tous les ensembles qui ne sont pas des éléments de soi n'est pas un élément de lui-même, seulement si elle est un élément de lui-même. Bien sûr, il y a contradiction ici.

Pour résoudre l'affaire, Russell a rejeté l'idée qu'un ensemble correspond à chaque prédicat. Il disait que les prédicats qui produisaient des effets contradictoires n'avaient pas de signification, car ils ne créaient pas d'ensembles. Autrement dit, définir un ensemble ne signifie pas que l'ensemble existe. Ainsi, on ne peut pas définir le cercle carré, parce que ce sont des concepts contradictoires. La résolution de Russell nous oblige à laisser des concepts sur l'ensemble et la vérité enracinés dans l'intuition.

Il existe une autre méthode pour éliminer la contradiction du paradoxe. On a besoin d'une théorie d'ensemble basée sur une logique polyvalente et non sur une logique valide. Dans ce système, le déni perd sa signification. Par conséquent, on peut admettre un ensemble qui est un élément de soi et en même temps il n'est pas.

Toutes les bougies sont-elles noires ?

Devant la cage des bougies, un ornithologue affirme :

• Voici deux des plus belles beautés que j'ai vues toute ma vie. Découvrez ses plumes noires. Ils doivent leur nom. Après avoir expliqué les coutumes de ces oiseaux, un jeune homme lui demande:
• Pardon professeur, mais dis-tu que tous les corbeaux sont noirs?
• Je ne sais pas si j'ai dit ces mots, mais oui. Toutes les bougies sont noires.
• Comment pouvez-vous être si sûr?
• Eh bien, dans ma vie, j'ai vu des centaines de corbeaux et ils étaient tous noirs.
• D'accord, mais il y a des centaines qui ne sont pas tous. Combien de bougies pensez-vous qu'il ya?
• Plusieurs millions. En revenant à votre question, de nombreuses personnes, scientifiques et non scientifiques, ont analysé les bougies pendant des milliers d'années et aucune d'entre elles, que je sache, ne mentionne aucune bougie qui ne soit noire.
• Par conséquent, on ne peut pas parler de tous, mais de presque tous les corbeaux.
• Oui, mais il y a plus de preuves. Pensez, par exemple, à ces beaux oiseaux multicolores, aux perroquets, aux toucans, aux dindes, ...
• Oui, ils sont beaux, mais je ne sais pas s'ils ont à voir avec l'affirmation que tous les corbeaux sont noirs.
• Ne comprenez-vous pas vraiment?
• Non. M'expliquerais-tu ?
• Bien. Acceptez-vous que chaque grain noir confirme la généralisation?
• Bien sûr.
• Bien. L’énoncé «toutes les voiles sont noires», du point de vue logique, équivaut à l’énoncé «toutes les choses non noires sont non noires». Ceci étant, et étant donné que tout cas confirmant un énoncé confirme ses équivalents, tout non noir affirme que tous les corbeaux sont noirs. Par conséquent, ces beaux oiseaux multicolores, même noirs, le confirment.
• C'est absurde, répondit le jeune homme. Selon ce critère, vos vestes bleues et vos pantalons gris confirment également que toutes les voiles sont noires. Car ce ne sont pas des bougies ou des noirs.
• Oui, dit l'ornithologue. Je sais que vous apprenez à raisonner comme des scientifiques.

Le paradoxe de Bethléem a suscité une grande polémique parmi les philosophes scientifiques au milieu des années 40, lorsque l'Allemand Carl Hempel a expliqué dans Studies in the Logic of Confirmation. Le paradoxe des corbeaux, de l'affirmation, est de la logique inductive. Ce n'est donc pas une conclusion logique dérivée des prémisses réelles. Ce problème est paradoxal, puisque deux principes de la logique inductive (l'affirmation et l'équivalence) découlent à des effets logiques opposés à l'intuition.

Il semble que la logique inductive est basée sur le principe que des généralisations comme “tous les voiles sont noirs” sont confirmés par des cas, à savoir chaque noir récupère la généralisation. La logique inductive n'admet pas de certitude. La généralisation ne peut être dit que tant de preuves sont révalidées. Au contraire, un seul voile non noir suffit à refuser la généralisation.

Il débat non seulement le principe d'affirmation mais aussi celui d'équivalence. Ce sont deux énoncés équivalents, seulement si l'un est vrai et l'autre est faux. Donc, quand ils ont le même titre. Par conséquent, si deux énoncés équivalents ont la même valeur d'exécution, un cas qui confirme l'un affirme l'autre. De même, dans le cas où un cas refuse un, les deux seront rejetés simultanément.

Hempel affirme que le paradoxe est dû à une mauvaise interprétation de l'extension des généralisations universelles. Il reconnaît que la généralisation “tous les corbeaux sont noirs” est affirmée par des colombes blanches, arc-en-ciel, etc. Dans le langage commun, la diffusion est limitée aux sujets grammaticaux des généralisations (le corbeau, le noir). Du point de vue logique, au contraire, sa diffusion est illimitée, c'est-à-dire qu'elle englobe tout (même ce qui n'est pas noir).

Hempel considère que «tous les corbeaux sont noirs» comme affirmation de la généralisation, l’obstacle à admettre non noirs est d’interpréter les généralisations selon les connaissances préalables. Par conséquent, l'intuition nous dit l'existence de pigeons blancs, arc-en-ciel, etc. n'a rien à voir avec la généralisation des couleurs des corbeaux, mais la logique montre que l'intuition est erronée.

Certains philosophes ont essayé de démontrer que les cas des non-noirs confirment la généralisation à différents niveaux. Le point de départ de ces idées est que le nombre de bougies est inférieur à celui de non-noirs et non noirs. Selon cette théorie il y a trois méthodes pour obtenir la maxime affirmation : analyser tous les corbeaux (jusqu'à ce qu'il soit prouvé que tous sont noirs) ; analyser toutes les choses non noires et déterminer qu'aucune n'est voilée ; ou enfin, analyser toutes les choses et déterminer qu'il n'y a pas de corbeaux non noirs. Il semble que le plus sensé est l'étude des voiles. Il semble licite de dire que le poids de voir un voile noir est plus grand, car proportionnellement entre les corbeaux un corbeau noir a plus de poids que parmi les non noirs une colombe blanche.