Matematika finantzen munduan

Mailegu eske

Etxea erosi behar dugu. Asko balio du eta daukagun dirua ez da nahikoa. Nondik aterako dugu falta zaiguna? Aspaldi asmatu zen mailegu-emailea. Gaur egun, gehienbat bankuak izaten dira betebehar hori hartzen dutenak.

Bankura joan eta behar ditugun hamabi milioi horiek eskatu ditugu. Bermeak eta abar alde batera utzita (ez garrantzirik ez dutelako, kalkuluekin zerikusirik ez dutelako baizik), beste gauza batzuk zehaztu behar ditugu: zenbat denboran itzuliko dugu dirua eta zein da interes-tasa? Horiek ezagututa, hilero bankuari ordainduko diogun diru-kopurua zehazten da. Matematika behar da, baina ez da zaila kontua egitea: zenbat diru izango lirateke gaurko hamabi milioi hamabost urte barru hilabetean % 0,50 haziko balira? Hilero ordaintzen ditugun M pezetarako ere antzeko kalkulua egin behar da, ordainketa bakoitzari hamabost urteak betetzeko falta zaizkion hilabeteak kontuan izanik. Berdinak izan daitezen M-rentzat balio bat lortzen dugu. Horrenbeste pezeta hilero ordaindu eta kito. Kalkulu eta formula horiek eskolan irakasten dira. Egia esan, formularen justifikazioa dirua kontatzea baino apur bat zailagoa bada ere, ezin daiteke esan Matematika maila altuan erabili behar denik. Formulak oso ezagunak dira eta edozeinen esku daude.

Arrazoibidearen oinarrizko funtzionamendua ezagututa, bankuak ematen dituen beste aukera batzuk baloratzea ere erraza da: hiru urte pasatu ondoren bankuarekin dugun zorra arintzeko milioi bat pezeta ordainketa batean ematea erabakitzen badugu, zenbat jaitsi behar da hileroko kuota? Edo noiz arte jarraitu behar dugu ordaintzen, amortizazio-epea laburtzeko aukeraz baliatu nahi izanez gero? Zelan aldatzen da hileroko kuota interes-tasa aldakorra bada eta urtebete pasatuta berrikustea egokitzen bada?

Maileguen munduko matematika erraza da. Hori ez ezik, zaharra ere bada eta denbora pasatu arren, formulak aldaketa barik eta kalkulu "txikiak" eginez aplika daitezke. Zorrak kitatzea kontu matematiko horiek egitea baino zailagoa izaten da...

Produktu berriak

Azaroaren 10ean bost milioiko ordainketa egin behar dugu negozio bat gauzatzeko. Horretarako K enpresako akzioetan sartu genuen dirua erabiliko dugu. Gaur egun burtsan akzioek duten kotizazioa ikusita, behar beste akzio saldu eta lortutako diruarekin interes finkoko letrak erosten baditugu, seguru gaude azaroaren 10ean bost milioiko ordainketa egiteko moduan izango garela.

Hala ere, K enpresaren akzioen bilakaera ikusita, nahiago genuke orain ez saltzea. Bigarren aukera aztertzen ari gara: azaroaren 10ean saltzea. Interes finkoko letrekin konparatuta akzioen prezioak gora egingo balu, bost milioiak lortzeko gaur baino kopuru txikiagoa saldu beharko genuke eta irabazten aterako ginateke; baina prezioak behera egitea ere gerta daiteke eta orduan... Bigarren aukera horrek arriskua du eta inork ez digu orain esango akzioei hemendik hilabete batzuetara zer gertatuko zaien.

Eta norbaitek akzioak azaroaren 10ean gutxienez gaur finkaturiko prezioan erosiko balizkigu? Hau da, aukera bat erosi gura dugu: azaroaren 10ean K-ren akzio bakoitzagatik P pezeta ordaintzeko prest dagoen norbait aurkitu gura dugu, akzio-kopuru bateraino behintzat, burtsan egun horretan duten prezioa edozein delarik. Gero, eguna helduta, guri gehien komeni zaiguna egingo dugu, merkatuan saldu ala aukera sinatu digunarengana saltzera joan. Hirugarren aukera horrek bigarrenaren abantailak ditu, baina arrisku barik. Posible al da horrelakorik lortzea?

Adibide horretan, mailegua eskatzeko ez bezala, orain ez dugu diru faltarik, baina dirua erabili beharko dugun eguna urrun dagoenez, estrategia egokia asmatu gura genuke merkatuak eskain ditzakeen etekinak ez galtzeko, ordainketari aurre egiteko orain dugun bermea mantenduz.

Harrigarria badirudi ere, aipaturiko finantza-produktuak badaude eta gero eta gehiago gainera. Komunikabideetan azkenaldian hainbeste aipatu diren stock option horiek ez dira besterik, jakineko datan aldez aurretik finkaturiko prezioan akzioak erosteko eskubidea baizik. Aukera europarrak deitzen dira gauzatuko dugun ala ez aurretik aipaturiko egunean erabaki behar denean eta amerikarrak azken egunera arteko edozein unetan gauzatzea posible bada.

Matematikaren eginkizuna

Jar gaitezen orain beste aldean, produktu-saltzailearen aldean, alegia. Bezeroak aurreko atalekoen moduko proposamena egiten badigu, berak galtzen duen arriskua guk hartzen dugu. Horren truke prima ordaintzea eskatuko diogu, aseguru-etxeek eskatzen duten moduan. Zenbat kobratu behar da? Arriskua neurtu, baloratu eta prezioa jarri, hor dago koska. Gainera prezioa alde biek onartu behar dute.

Hemen agertzen da Matematika. Beste zientzia batzuetan aplikatzeko egiten den moduan, eredu matematikoa prestatu behar da. Aldagai esanguratsuak zeintzuk diren zehaztu, beren arteko erlazioak erabaki eta ekuazio bat idatzi; hona hemen modelizazioaren bidea.

Hala ere, egiten den ereduak ez du errealitatea iragartzeko balio. Fisikan, adibidez, higidura deskribatzeko ekuazioak eta gaurko datuak ezagututa jakin dezakegu zortzi hilabete barru Ilargia non egongo den eta Lurretik bidaltzen dugun koheteak zein ibilbide egingo duen, eta, kalkuluak ondo eginez gero, aurretik finkaturiko egunean kohetea Ilargian egotea lor dezakegu (oztopo teknikoak gainditzeko modua izanez gero, noski).

Ekonomian Matematikak ez du horrelakorik egiten. Argi gera bedi beraz, ez dagoela hemendik zortzi hilabetera burtsaren bilakaera zein izango den iragartzeko eredurik. Izan ere, ez dago inbertitzaileen jarrera zehazterik. Pentsatu al duzue inoiz telebistatik eguraldia iragartzen diguten moduan Burtsaren pronostiko "zientifikoa" egingo balute zer gertatuko litzatekeen? Ekuazio matematikoak akzio batzuen jaitsiera iragarri biharko, inbertitzaileek arrapaladan saldu eta jaitsiera txikia izan behar zena itzel bihurtuko lukete, ekuazioek esandakoa ukatuz.

Finantza-produktuetan Matematikaren eginkizuna ez da iragartzea, balioztatzea baizik. Aukera guztiak kontuan hartu ("guztiak" esateak izan ditzakeen mugen barruan, jakina), bakoitzaren probabilitateari balioa ezarri, parametroen balioak erabaki eta behar den eredutik azkenean zenbaki bat atera, bezeroari eskatu behar dioguna, hain zuzen ere. Erosleak aukera baliatzen ez duenean, prima irabazi egiten da, baina bestela geuk estali behar dugu merkatuaren eta aurretik ezarritako prezioaren arteko diferentzia. Hondamendira ez joateko ezinbestekoa da ondo balioztatzen jakitea.

Balioztapenaren historia

XVIII. mendearen amaieran Daniel Bernoullik arriskuaren neurriaz artikulu bat idatzi zuen, Estatistikan erabiltzen den bariantza kontzeptua erabiliz. 1900. urtean Louis Bachelier frantziarrak ThŽorie de la spŽculation izeneko doktore-tesia aurkeztu zuen Parisen. Henri PoincarŽ ospetsua zuzendari zuen. Dirudienez, gaia ez zen PoincarŽren gustukoa eta urte askotan ezezagun gelditu zen Bachelierren lana. Aktiboen prezioen eboluziorako higidura browndarra proposatu zuen; Biologian sortu zen kontzeptu hori Einsteinek Fisikan eta Wiener-ek Matematikan erabili baino lehenago agertzen da Bachelierren tesian.

Paul Samuelson ekonomialari ospetsuak 1947 eta 1948an argitaraturiko liburuak oinarrizko bilakatu ziren Ekonomiarentzat. Samuelsonen iritziz hitzetan eta buruko ariketetan denbora galdu gabe ekonomialariek Matematikaren bidetik bilatu behar zuten argia, ez Matematikak problema guztien ebazpena emango zielako, egoera ulertzeko oinarria zelako baizik. 60ko hamarkadan Bachelierren ereduari aldaketa bat ezarri zion aktiboen etekinei barik higidura browndarra prezioei eginaraziz. Samuelsonek Nobel saria jaso zuen 1970ean; Lindbeck irakasleak honela hasi zuen sarituaren aurkezpena: "Azken hamarkadetako ekonomia-bilakaeraren ezaugarri nagusietako bat teknika analitikoen formalizazio-maila gero eta handiagoa da, askotan metodo matematikoen laguntzaz egin den formalizazioa".

Zenbait urte geroago aldaketa sakona ekarri zuen emaitza etorri zen, ekonomialarientzat hain ospetsu egin den Black-Scholes-en formula, alegia. 1973. urtea zen eta urte berean hasi zen lanean Chicagoko finantzetako deribatuen lehen merkatua (aipaturiko produktuei deribatuak esaten zaie beste batzuen bilakaeraren menpe daudelako). Merkatuan laster hasi ziren erabiltzen formula hori eta Ekonomia matematikoak eskainitako beste baliabideak ere bai; ondorioz, azken urteotan deribatuen merkatuak izugarrizko hazkundea izan du. Espainian 1990ean sortu ziren: Bartzelonan errenta finkokoa eta Madrilen errenta aldakorrekoa; zeren deribatu horiek ere saldu eta erosi egiten baitira merkatuan, egiaztatzeko aldizkarietako ekonomia orrietan begiratzea baino ez dago.

Hiru ekonomialari agertzen dira formulazio berriari lotuta: Estatu Batuetako Fischer Black eta Robert Merton eta Kanadako Myron Scholes. Azken biek Nobel saria jaso zuten 1997an, Black ere saritua izango zen urte bi lehenago hil ezean. Robert Mertonek prestakuntza matematiko sakona hartu zuen eta matematika aplikatuko doktoregoa egiteko asmoz sartu zen Kaliforniako Teknologia Institutuan 1966an, baina urtebete geroago Ekonomiara pasatzea erabaki zuen; MITen onartu zuten eta artean oso gazte zelarik Samuelsonen laguntzaile bilakatu zen. Han elkartu zen Black eta Scholesekin. Black Fisikan hasi zen, Matematika aplikatuan doktoratu eta Ekonomian amaitu zuen. Scholesen ibilbide akademikoa Ekonomiatik hurbilago egon zen, baina tesia egiten hasi zenean, Chicagoko Unibertsitatean konputazioan ere lan egin behar izan zuen nahitaez.

Hirurak aritu ziren produktu deribatuei prezioa jartzearen probleman. Oinarrizko ideia batzuez baliaturik deribatu partzialetako ekuazio bat idazteko gauza izan ziren; ekuazioa ebatzi eta Black-Scholesen formula ateratzen da. Autore bi horiek idatzitako "The pricing of options and corporate liabilities" artikulua (1973) literatura zientifikoan aipatuenetarikoa da. Mertonek urte berean idatziriko lan batean formula ateratzeko eta zenbait hipotesi arintzeko beste bide bat asmatu zuen. Oso garrantzitsua izan zen formulazioan zenbait ideia sartzen asmatzea, etorkizuneko zalantzazko datuen ordez probabilitate objektiboak lortzeko bidea ematen baitute; hauek benetakoak ez izan arren, azken emaitza berdina da. Halaber, merkatuak orekarako joera duela eta arbitraia deritzon egoera (diru barik irabaziak ateratzea) berez baztertzen duela onartzea erabakigarria suertatu zen.