Sobre o último teorema de Fermat

1995/05/01 Duoandikoetxea Zuazo, Javier - EHUko matematika irakaslea Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Os matemáticos que estaban a escoitar pronto se deron conta de que Wiles paralizaba o complicado problema das Matemáticas, coñecido como o "teorema de Fermat". Pronto a noticia estendeuse a todos os matemáticos do mundo. Tamén aos que non eran matemáticos, como testemuñas das citas de xornais, radio e televisión. O manuscrito de Wiles, con todo, estaba en mans duns poucos, xa que o autor non quería publicalo ata que non se comprobase todos os aspectos técnicos que contiña a demostración.

E parece que una parte tiña lagoas (non erros) e ata que as cubrise o último teorema de Ferma tería que seguir sendo un problema aberto. Con esta dúbida pechei a primeira versión do artigo, pero segundo unha noticia que se ampliou hai uns días, fixeron o cálculo que faltaba e aínda que temos que esperar á aprobación dos expertos, parece que esta vez poderemos pór o nome de teorema no seu verdadeiro sentido ao resultado que nos propuxo Fermat.

Fermat

O home que dá nome ao problema, Pierre de Fermat, naceu en 1601 en Beaumont de Lomagne, un pobo gascón situado no actual departamento de Tarn e Garona. Era fillo de familia acomodada (o seu pai era comerciante) e estudou as Leis nas Universidades de Tolosa, Bordeus e Orleans. A partir de 1631 traballou como avogado no Parlamento de Tolosa.

E é que, xunto con Newton e Leibniz, o XVII. Fermat estivo na cima das matemáticas do século XX, nunca se dedicou totalmente á Matemática, senón fóra do traballo. Pero a estrutura das Universidades daquela época era moi diferente á actual, e o avance das Ciencias chegou a miúdo de científicos non profesionais. Morreu en Castres en 1655.

Durante a súa estancia en Bordeus, Fermat serviuse, ao parecer, de estudar a obra do matemático François Viète e da sinxeleza da súa redacción simbólica. Dicimos tamén que Viète era máis coñecida no seu tempo como política e foi conselleiro persoal de Enrique IV (Enrique III de Navarra). As achegas de Fermat poden verse en todos os ámbitos da matemática: Deu os inicios da Xeometría Analítica na mesma época de Descartes, propuxo métodos de cálculo de máximos e mínimos e de realización de cuadraturas na Análise, aínda que pronto os Cálculos Infinitesimais de Newton e Leibniz escurecéronse e xurdiron como campo independente coa mesma Teoría dos Números, como se di.

Na óptica, a lei da refracción da luz tamén se chama principio de Fermat e nos comezos da Probabilidade aparece xunto a Pascal. Con todo, aínda non gozou de gran popularidade, xa que non publicou libros. As súas obras chegáronnos en cartas, pequenas obras e manuscritos. A mera mención de todas as achegas levaríanos moito tempo e aquí unímonos á evolución do último teorema de Fermat.

Temos que ir ao grego en busca das primeiras pegadas, que por primeira vez ocupáronse dos números e as figuras xeométricas. d. C. III. No século XIX, o matemático afincado en Alexandría Diofanto escribiu uns libros nos que se recollía o coñecemento da aritmética grega. Estes libros foron traducidos ao árabe e a súa influencia nas Matemáticas árabes foi evidente. Na Idade Media, cando chegaron ao oeste de Europa só quedaban seis do catorce primitivos. Catro dos sete libros perdidos recentemente foron atopados no Messed de Irán, en 1971, na tradución árabe.

O home que dá nome ao problema, Pierre de Fermat, naceu en 1601 en Beaumont de Lomagne, un pobo gascón situado no actual departamento de Tarn e Garona. Morreu en Castres en 1655.

Estas seis antigas figuras foron publicadas por Bachet de Mériziac en 1621, engadindo ao grego a tradución e os comentarios en latín. Esta foi a principal fonte de resultados da Teoría dos Números paira Ferma. De feito, no mesmo libro escribía Fermat as súas notas e comentarios e despois de morrer o seu fillo encargouse de publicalos coas notas do pai Arithmetica de Diofanto.

As primeiras pegadas ao problema que nos ocupa atópanse nos triplos pitagóricos, é dicir, no cálculo de números enteiros que cumpren a ecuación x 2 + e 2 = z 2. Por exemplo (3, 4, 5) ou (5, 12, 13). Cun pouco de traballo tamén se pode conseguir una fórmula que dá todas. Fermat propuxo utilizar calquera outro expoñente en lugar de preguntas xeneralizadas e cadradas. E nun dos extremos do libro mencionado Arithmetica escribiu: “É imposible dividir un cubo en dous cubos, e un descuadrado en dous pares ou, en xeral, calquera outra remodelación que non sexa cadrada, en dúas verduras do mesmo expoñente. Atopei una demostración marabillosa diso, pero este bordo de páxina é demasiado pequeno paira entrar en el”. É dicir,

x n + e n = z n

Fermat defendeu que a ecuación non ten una solución moi positiva cando n é maior que dúas. Noutros resultados que nos deixou sen probas só quedou indemostrable uns anos despois, e por iso chámaselle o último teorema de Fermat, aínda que o resultado non demostrado non merece o nome de teorema.

A día de hoxe ninguén cre que este resultado de Fermat fose una demostración. Nas cartas só mencionou o caso n = 3 e resolve o método que utilizou o caso n = 4 paira outro problema. É posible que destes dous considérese que a generalización era posible ou que se cometa algún outro erro, pero non é posible determinalo.

Kummer

Basta con ter en conta n = 4 e n a primeira impar, xa que todas as demais poden resumirse nelas. XIX. A principios de século só se coñecían os casos n = 3 e 4. Legendre obtivo una resposta n = 5 en 1825 e Dirichlet, tras outra demostración neste caso, estudou o caso n = 7. Indemostrable, resolveu n = 14 en 1832 e sete anos despois Lamé chegou a responder a n = 7. Mentres tanto, a Academia francesa ofreceu un premio a cambio dunha demostración completa.

O verdadeiro avance chegou entre 1844 e 47 coa obra de Ernst Kummer. Isto estudou números moi cicllotómicos:

a 0 + a 1w +... + a n-1

de

a 0 , a 1 , ... , a n-1 enteiros

e

w = e 2</n (por tanto n = 1)

son.

Estes números, do mesmo xeito que os enteiros convencionais, poden factorizarse nos números primos, pero a diferenza dos convencionais, nalgúns casos pode haber máis dunha factorización paira o mesmo número. Ao principio non se deu conta deste problema e cometeu algúns erros, pero logo creou a teoría dos números ideais paira solucionalo, por unha banda, e o corpo de clases, por outro. Paira medir o “malo” que pode ser a factorización, introduciu o concepto de número de clases.

A este respecto definiu os primeiros números regulares e demostrou que paira eles o último teorema de Fermat é certo. Mostrou un criterio paira coñecer estes números e dos números primos inferiores a 100 só 37, 59 e 67 son irregulares. A innovación de Kummer supuxo un avance espectacular. A pesar de que en 1850 a Academia Francesa ofreceu por segunda vez o premio, anos despois retirouse e decidiron entregar a medalla de ouro do Gran Premio a Kummer, tal e como propuxo Cauchy. Despois Kummer desenvolveu métodos paira analizar casos que faltaban por baixo dos tecidos pero XX. A principios do século Vandiver encheu os buracos que deixou.

A pesar de que en 1850 a Academia Francesa ofreceu por segunda vez o premio, anos despois retirouse e decidiron entregar a medalla de ouro do Gran Premio a Kummer, tal e como propuxo Cauchy.

XIX. No século XVIII non se avanzou totalmente pero se obtiveron resultados parciais. XX. A principios do século XX, en 1905, Paul Wolfskehl, da Sociedade de Ciencias de Götingen, ofreceu cen mil marcos paira a primeira demostración. O son do diñeiro, ademais dos matemáticos profesionais, sacou á praza aos afeccionados e chegaron centos de resolucións. Pero todo en balde. O valor do premio quedou moi reducido polas desvalorizacións do marco, pero hai quen creen que sen diñeiro probaron con medios totalmente elementais.

XX. século

XX. A medida que a capacidade de cálculo dos computadores aumentou no século XX, foi posible realizar comprobacións paira os valores especiais de n. Isto non pode demostrar en ningún caso todo o teorema, pero si sábese que é certo por baixo de n = 4.000.000 (de aí chegaron en 1993) dificilmente pode deixar rastro paira crer o contrario. Con todo, en Matemáticas necesítanse probas.

O desenvolvemento da xeometría algebraica foi o responsable do XX. Cambio de estratexia no século XX respecto ao último teorema de Fermat. Algúns problemas que apareceron nos estudos de curvas e superficies poden relacionarse co teorema de Fermat. Dalgúns dos aieros propostos nos tres campos (xeometría diofántica, superficies aritméticas e curvas elípticas) deducíase de inmediato a de Fermat.

En 1983 o alemán Gerd Faltings demostrou una conxectura proposta por Mordell sesenta anos antes e, en consecuencia, que as ecuacións x n + e n = z n son un número finito de solucións “realmente” diferentes paira cada n, cando n' 3. Que é o que realmente significa diferente. Se o trío (3, 4, 5) cumpre coa ecuación x 2 + e 2 = z 2, é evidente (6, 8, 10), (9, 12, 15) e, en xeral, calquera múltiplo cumpre.

Todas elas podemos consideralas como una mesma resolución. Pero os tríos (5, 12, 13) e (7, 24, 25) tamén son resolucións e non son iguais. E é fácil observar que en n = 2 as diferentes solucións son infinitas. Segundo o teorema de Faltings isto non ocorre cando n Ž 3. O obxectivo é demostrar que non hai ningún, pero foi un paso adiante. Ademais de Mordell, Faltings resolveu outras dúas grandes conxecturas que lle valeron en 1986 a medalla Fields.

Doutra banda, fai uns seis anos Miyaoka reivindicou una diferenciación relacionada coas superficies aritméticas (Bogomolov-Miyaoka-Yau). Se fose certo, polo menos paira os maiores dun valor fixo de n chegariamos á conclusión de que se cumpre o último teorema de Ferma, pero atoparon un erro á demostración e quedámonos no mesmo estado.

A obra de Wiles sitúase no campo das curvas elípticas. En 1955 o matemático xaponés Yukata Taniyama propuxo una conxectura que foi determinada na próxima década por Goro Shimura. Na terminología algebraica di: “Calquera curva elíptica, modular, sobre números racionais”. Durante moitos anos a ninguén se lle ocorreu que esta conxectura puidese ter que ver co teorema de Fermat, ata que o alemán Gerhard Frey en 1985 afirmou que o aieru Taniyama-Shimura é máis duro que o teorema de Fermat, é dicir, que a demostración da primeira trae consigo a segunda. Non foi capaz de concretar, pero nos próximos anos quedou claro que Frey estaba ben co traballo que Jean Pierre Serre dirixiu e terminou con Kenneth Ribet.

Andrew Wiles (1993). O obxectivo do traballo de Andrew Wiles nos últimos anos foi a conxectura de Taniyama Shimura. Aínda que non demostrou o caso máis xeral, logrou comprobalo paira moitas curvas e nelas atopábanse os que deixaron decidido o teorema de Fermat.

O obxectivo do traballo de Andrew Wiles nos últimos anos foi a conxectura de Taniyama-Shimura. A pesar de non demostrar o caso máis xeral, supostamente logrou comprobalo paira moitas curvas e o que deixaban decidido o teorema de Fermat que había nelas. Segundo os expertos, a demostración tiña moita credibilidade e por iso a noticia difundiuse por todo o mundo. Como é costume, antes da súa publicación, o traballo quedou en mans duns expertos paira a súa aprobación. Meses despois, empezamos a ouvir que algo estaba equivocado.

Tentando aclarar as cousas, o propio Wiles publicou en decembro de 1993 una nota na que recoñecía que no seu manuscrito atoparon uns puntos que había que completar na revisión e que solucionara a maioría deles, pero que un se escapou, o que esixía que non podiamos dar por concluída a súa obra ata que dominase o cálculo. Por certo, na primavera deu detalles do que fixera e do que faltaba paira o curso que ía impartir.

A primavera e o verán foron, e como non había máis noticias, terminei o primeiro borrador deste artigo con iso e quizais en breve podíase chegar á demostración. Pero cando estaba a facer a última redacción e as correccións, chegou a noticia que esperabamos.

Abriuse o 25 de outubro de 1994, aínda que con menor intensidade que o anterior. Tal e como quedou nas Universidades a necesidade de revisar despois daquela euforia inicial, probablemente tamén se limitará ás contornas profesionais. Din que o problema a resolver abordouse por outro camiño e tiveron éxito. Wiles tomou a prudencia o pasado día e deixou o manuscrito en mans duns poucos.

Esta vez tamén o faría, claro, pero como o 25 de outubro fixo o manuscrito, podemos consideralo como una sinal con seguridade. E con el vén o seu segundo traballo con Richard Taylor, que parece indicar como se pode facer o cálculo que faltaba no inicial. A experiencia demóstranos que ata que cheguen as últimas bendicións non podemos dicir que teñamos una demostración definitiva. Pero, ao mesmo tempo, hai que dicir que temos moitas razóns paira crer que o problema que se converteu nos famosos quebradizos de cabeza dos matemáticos durante 350 anos está resolto. E como se dixo nas bromas, Fermín tiña razón cando escribiu que non cabía no bordo da páxina.