Desagregación de "Elhuyar", "Elhuyaw", ": Semiordenak

2010/12/01 Indurain Eraso, Esteban - Analisi Matematikoa saileko katedraduna eta Matematika mintegiko buruaNafarroako Unibertsitate Publikoa | Abrisqueta Usaola, F. Javier - Askatasuna BHI institutuko Matematika irakaslea eta NUPeko Analisi Matematikoa sailean irakasle laguna Iturria: Elhuyar aldizkaria

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Si realizamos una clasificación al diferenciar los elementos nos aparecerá el concepto de umbral de percepción. A veces es difícil de determinar. Las dos monedas de cobre que aparecen en la imagen, por ejemplo, son las de Caskant. Servirían para presentarse a una exposición de monedas realizadas en Navarra entre los años 14 y 36, pero el segundo no serviría para analizar las características de las monedas realizadas en Cascante, por falta de parte. ¿O podemos utilizarlo porque la parte que le falta no es tan grande? En cualquier situación, el umbral de percepción es un límite a determinar.

Si en un buscador de Internet escribiéramos "Elhuyaw" (sic), en seguida nos saldría el mensaje "Igual has querido escribir Elhuyar" y después las referencias a "Elhuyar" aparecerían ante nuestros ojos. En esta ocasión, y con el mismo objetivo, si escribiéramos "Elhuyww", el buscador respondería de forma inmediata con el mensaje "No se han encontrado resultados". Las palabras "Elhuyaw" y "Elhuyar" se diferencian por una letra, mientras que la diferencia entre "Elhuyar" y "Elhuy2-2" puede deberse a una respuesta diferente.

Tal vez el buscador tenga un programa específico para detectar la diferencia de una letra entre dos palabras, por lo que si escribimos "Elhuyaw" se ha dado cuenta de que ha habido un error y ha supuesto que hemos querido escribir "Elhuyar". Del mismo modo, el buscador no es capaz de suponer que una vez escrito "Elhuy2-W" se trata de un error debido a la diferencia de dos letras.

Puede ocurrir que el buscador tenga un umbral de percepción (Umbral de percepción en castellano; threshold percepción en inglés), es decir, si en una letra se diferencian como máximo dos palabras, lee los programas como inseparables y emite el mensaje "Tal vez ...", pero si escribimos dos o más letras mal, entiende que estamos buscando algo diferente: Elhuyar y Elhuyar son diferentes y sus resultados. Veamos que esta relación de inseparabilidad entre las palabras del ejemplo no es transitoria: Elhuyar y Elhuyar son inseparables (porque se diferencian en una letra). Por la misma razón, "Elhuyaw" y "Elhuyff" son inseparables, pero diferencian las palabras "Elhuyar" y "Elhuyww", y así actúa el ordenador.

Con esta introducción, los miembros del grupo de investigación sobre "Matemáticas del Orden" (UPNA, Pamplona), con la subvención del proyecto de investigación MTM2007-62499, queremos lanzar un pequeño apartado en el que estamos trabajando en los últimos años: comparaciones entre opciones o alternativas, indivisiones no transitorias y umbrales de percepción, concepto básico de nuestras últimas investigaciones, llamado semiorden. Entre sus aplicaciones se encuentra la configuración de programas de buscador en los navegadores de red.

Teniendo en cuenta el principio histórico, este concepto es N. Aparece implícitamente en un trabajo de Wiener de 1914. Años después, en 1956, R. D. Luce lo utilizó en el ámbito económico (ber)para analizar situaciones de comparación de oportunidades o alternativas y tomar decisiones en las que participan los agentes que deben establecer prioridades en situaciones de indiferenciación no transitoria. R. D. El nombre de semiorden (semiorder, en inglés; quasi-ordre francés) corresponde al autor Luce...

Sistemas prioritarios y semiórdenes

A la hora de analizar un conjunto de opciones, se detectan dos relaciones entre diferentes opciones, si tenemos dos opciones, una más adecuada, preferida o deseable. Pero también pueden ser similares. En este caso, nos da igual uno u otro, porque no lo separaremos. Estudiaremos las propiedades de las relaciones "ser más apropiado" e "ser inseparable" para obtener la definición de la estructura de semiórdenes. Siendo X un conjunto de opciones o alternativas y P, si se trata de dos relaciones binarias definidas en este grupo I, se entiende que el par de relaciones [P, I] sea un sistema prioritario: La relación P la utilizaremos para expresar prioridades concretas (más adecuadas) y la relación I para expresar inseparabilidad.

Es decir, si x y y X son dos opciones o alternativas y nos gusta más que x opción y (escribimos x P y), por casualidad no puede ser y más que x (si x P y es imposible y P x ), por lo que P debe ser asimétrica. Puede ocurrir que las opciones x e y sean iguales o las alternativas sean las mismas, pero superaremos este problema con P irreflexivo ( si x es una alternativa, x P x ). Por otra parte, la relación I debe ser reflexiva, es decir, si x I x ; x es una opción, no puede diferenciarse. Además, definiremos la relación I cuando tenemos una relación P, no al revés. Con esto queremos indicar que dos opciones serán inseparables y escribiremos x I y si no es x P y ni P x. Otra propiedad de I es que es simétrico (si x I y, y I x).

Actualmente somos capaces de definir el concepto de semiorden, por lo que no utilizaremos R. D. El que utilizó Luce, que es totalmente técnico: Aleskerov et al. Utilizaremos lo indicado en el capítulo 3.2 del trabajo (2007).

Si en el grupo X está definido el sistema de prioridad [P, I], se considerará que la relación de prioridad concreta P es una semiorden, x ; y; z; cualquier elemento del conjunto t X cumple dos condiciones:

1. Si x P y ; y I z ; z P se rellenara, se debería rellenar x P t. (PIP B)

2. Si x P y ; y P z ; z I se rellenara, se debería rellenar x P t. (PPI B)

Umbrales de percepción

(Foto: -)

En la definición de semiórdenes no aparece directamente el umbral de percepción, pero la indiferencia no transitoria nos demuestra que es necesario, en el ejemplo introductorio "Elhuyar" I "Elhuyaw" I "Elhuyww", pero hemos visto que "Elhuyar" es "P "Elhuyar", y hemos supuesto que si el número de letras diferentes es mayor que una se separan. Trabajaremos la frontera constante entre lo que podemos elegir y lo que son inseparables. Aunque Luce tuvo en cuenta la idea en su artículo original, fueron Scott y Suppes, en un trabajo de 1958, quienes analizaron directamente el concepto. En este trabajo se demostró un resultado muy importante de las semiórdenes definidas en grupos finitos:

Teorema de Scott-Suppes [1958]: Dado que un conjunto finito X y la relación P son una semiorden definida en el conjunto X, existe entonces una función F definida en el conjunto X y que toma valores reales, donde x y son dos alternativas, x es más satisfecha que y sólo si se cumple que F(x)+1 < F(y).

Si nos fijamos en el significado de este teorema básico, observaremos que la semiorden P, basada en las comparaciones entre las distintas opciones, y que está definida en la mayoría de las ocasiones que seleccionamos las preferencias de las opciones a escala cuantitativa, pasa a escala cualitativa o numérica. Es decir, a cada una de las x opciones del grupo X, mediante la función F, le corresponde el número F( x ), (y a F( y )), de forma que, comparando los números reales F( x ) y F( y ), podemos saber si nos gusta más que la alternativa y x. Esta prioridad P viene determinada por un umbral de percepción constante: Scott-Suppes Teoreman El umbral de percepción es un número. Observaremos que x es más deseable que y sólo si el umbral de percepción F( y ) - F( x ) es mayor que uno. Sin embargo, si en valor absoluto F( y ) - F( x ) es menor que una, entonces las opciones x e y son inseparables.

Para trabajar las Matemáticas del Orden es necesario disponer de este tipo de traducciones en escalas cuantitativas equivalentes a tipos de ordenación en escalas cualitativas, como las semiórdenes. Es decir, conocer más y menos entre los números que es habitual mediante la relación y no cualitativamente las opciones definidas en un conjunto (definidas por una relación binaria o por una ordenación). El Teorema de Scott-Suppes en un conjunto finito transforma las escalas de semiorden en escalas numéricas mediante la función F y un umbral de percepción constante.

El problema de la expresión numérica

El resultado que hemos lanzado en el portal (Teorema Scott-Suppes), que afirma que una semiorden denominada P en los conjuntos finitos X puede ser representativa mediante una función F y un umbral de percepción, no se cumple en los conjuntos infinitos. Por tanto, diremos que una semiorden P definida en un conjunto infinito es representativa en forma de Scott-Suppes si podemos representarla mediante una función F y un umbral de percepción: Cuando la función F está definida en el grupo X y toma valores reales y tenemos dos alternativas x e y es x P y, sólo si F( x ) + 1 < F( y ).

Ahora, en esta situación general, existen semiórdenes P definidas en un conjunto X (necesariamente con infinitos elementos) que no admiten este tipo de expresiones. Para ellos no es posible encontrar una expresión como Scott-Suppes, una función F adecuada y un umbral de percepción constante. Ejemplos como: En un grupo X tenemos una secuencia x ( n ) en la que cada elemento es más satisfactorio que el siguiente (x ( n) P x ( n +1) n para todos los números naturales) y un elemento x * para todos los temas que cumplen x ( n) P x * (todos los elementos consecutivos son más satisfechos que él), en esta situación es imposible dar una expresión en forma de Scott-Suppes. Abrisqueta et al. En (2009) aparecen diferentes ejemplos.

Ha llegado el momento de plantear la clave de esta teoría. El problema de la expresión numérica de las semiórdenes: ¿Cuáles son las características de una semiorden P definida en un conjunto X para que este semiorden P sea representativo en forma de Scott-Suppes? Llevamos quince años estudiando este problema en algunos grupos de investigación. A pesar de que hemos obtenido alguno de los resultados generales, es muy técnico para explicar aquí. Para más información sobre este tema es interesante Abrisqueta et al. (2009) Artículo de referencia, en el que se analizan los pormenores de lo realizado en relación a este problema.

En general, como ya se ha mencionado anteriormente, la consecución de expresiones numéricas de estructuras ordenadas es el quebradero de cabeza de una rama activa de las Matemáticas de la Orden, concretamente, la obtención de expresiones numéricas de estructuras ordenadas. Podemos hacer entender una escala cualitativa a través de una escala cuantitativa. Entre estas estructuras, las semiórdenes han sido, sin duda, el problema más difícil desde que Scott-Suppes presentó su trabajo. El salto de escala cualitativa a escala cuantitativa en otras estructuras ordenadas viene dado desde hace varios años. Las respuestas obtenidas en las semiórdenes requieren un alto grado de abstracción de difícil desarrollo. Quizás deberíamos simplificarlos, intentando buscar respuestas alternativas más sencillas que las que tenemos actualmente. En eso estamos.

Bibliografía