As ecuacións funcionais están na nosa contorna

2014/02/01 Indurain Eraso, Esteban - Analisi Matematikoa saileko katedraduna eta Matematika mintegiko buruaNafarroako Unibertsitate Publikoa | Abrisqueta Usaola, F. Javier - Askatasuna BHI institutuko Matematika irakaslea eta NUPeko Analisi Matematikoa sailean irakasle laguna Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Ecuacións funcionais: algúns exemplos

Comezaremos con algúns exemplos ilustrativos:

1. Contemplaremos algunhas etapas básicas da vida dunha persoa:

(F) Nacemento

Atopar traballo (II)

(III) compra de vivenda

(IV) casarse

Está claro que o tres últimas etapas non se poden completar sen a primeira (nacer). O tres últimas poden producirse en calquera orde.

Doutra banda, pódense unir varias etapas básicas e crear una etapa global que englobe todas elas. É dicir, as etapas de procura de emprego e compra de vivenda pódense unir nunha etapa máis ampla denominada arraigamento. Agora, a partir deste exemplo, tentaremos obter una expresión matemática; a realización da etapa b tras a etapa a, denominamos F(a,b) ( a e b e X , onde X é o conxunto de todas as etapas básicas). Aceptaremos F: X x X B X X que cumpre a ecuación de permutabilidad X (noutras zonas, ecuación de migrabilidad):

F(a,b),c) = F(F(a,c),b), a,b,c e X paira todas.

O certo é que esta ecuación funcional é bastante coñecida noutras ramas da ciencia (non só en matemáticas):

Por exemplo, en economía. Supoñamos que temos una cantidade de diñeiro C, un capital, na entidade bancaria, e que tras un período temos que pagar un imposto (entregar a Facenda una proporción do diñeiro sobrante da caixa). Si partindo dun capital C cobran r 1 C, sendo r 1 e (0,1), a cantidade que quedará no banco será R(C,r 1 )=(1-r 1) C. Si tivésemos que pagar dous impostos, enseguida darémonos conta de como a cantidade que nos quedaría no banco non variará segundo a orde no que esteamos a pagar os impostos da seguinte maneira:

Ed. Elhuyar Zientzia

R(R(C,r 1 ),r 2 ) = (R(R(C,r 2 ),r 1 ), C,r 1 ,r 2 > 0 e r1,r 2 e (0,1).

Informática. Aparece nos algoritmos de computación que deben determinar os traballos que deben realizar os computadores.

2. Queremos realizar viaxes en avión. Paira ir dun aeroporto chamado x a outro que se chama, temos que pagar P(x,e). Ademais, as taxas do aeroporto de saída, T(x), tamén deben pagarse, de forma que o prezo da viaxe sexa P(x,e)+T(x). Supoñamos que segundo o sistema de prezos acordado o valor das viaxes de ida e volta debe ser o mesmo, é dicir, P(x,e)+T(x) = P(e,x)+T(e), onde x e e son aeroportos.

Neste caso diremos P: X x X Cálculo [0,+·) cumpre a ecuación do circuíto:

P(x,e)+P(e,z)+P(z,x) = P(x,z)+P(z,e)+P(e,x), x,e,z e X

Si queremos medir a diferenza entre os prezos das viaxes de ida e volta, sen ter en conta as taxas dos aeroportos, debemos analizar a función F(x,e) = P(x,e)-P(e,x), neste caso F: X X X\ R cumpre a ecuación funcional de Sincov:

F(x,e)+F(e,z) = F(x,z) paira todos x,e,z e X.

3. Un grupo de investigación asentado no País de Computación1 pode alcanzar niveis de excelencia de nivel x mediante o traballo de investigadores locais. As persoas de Chiffreland, que tamén son investigadoras, lograrán un nivel de excelencia e se o equipo traballa pola súa conta. Con todo, a colaboración entre ambos os equipos permite alcanzar niveis de excelencia E(x,e) e, probablemente, alcanzar niveis superiores aos x e e de cada grupo. Tamén debemos recoñecer que o nivel de excelencia E(x,e) alcanzado co traballo conxunto será o máximo alcanzable. Se uno deles alcanzase este nivel sen o apoio do outro, aínda que se xuntase co outro non melloraría ese nivel de excelencia. É dicir, colaborar co outro grupo non suporía elevar o nivel de excelencia da investigación. Esta situación podémola expresar da seguinte maneira:

E(E(x,e),e) = E(x,e) = E(x,E(x,e)),

R: A función X x X B X denomínase función de incremento, onde X representa todos os niveis de excelencia. Esta ecuación está bastante estudada na literatura especial e chámase ecuación do consenso porque está relacionada cos problemas habituais que se presentan nos estudos de Selección Social.

Investigación matemática por ecuacións funcionais

Cando un matemático escoita a expresión ecuación funcional, inmediatamente ocórrenselle conceptos como ecuacións diferenciais, ecuacións de derivada parcial ou ecuacións integrais. Isto é fácil de entender, xa que este tipo de ecuacións teñen a súa propia teoría ben desenvolvida e consolidada, e ademais podemos afirmar con certeza que este matemático aprendeu nos seus estudos universitarios polo menos algún dos conceptos mencionados, se non todos eles.

Ed. Springer

Pero a expresión ecuación funcional abarca un conxunto máis amplo de relacións entre ecuacións ou funcións.

Na resolución dos exemplos presentados no portal, estes exemplos non se analizarán, polo menos nun principio, coas técnicas empregadas polas teorías de derivadas parciais, ecuacións diferenciais ou ecuacións integrais. É máis, una persoa que traballa en ecuacións funcionais atópase con ecuacións pouco ou nada relacionadas con ecuacións diferenciais, integrais ou derivadas parciais, e as que atopa son moi similares ás que aparecen nos nosos exemplos.

O que pasa é que non existe una teoría matemática consolidada e estendida paira a aprendizaxe destas ecuacións funcionais (que son de significado máis xeral e amplo), aínda que existen estudos e traballos clásicos (por desgraza ou por fortuna son poucos traballos).

Hai que facer un exemplo ou mención interesante: neste tema das ecuacións funcionais, como xa se comentou, hai pouca bibliografía. É máis, as técnicas utilizadas paira o estudo de ecuacións con funcións multivariantes, como F(x,e)+(F(e,z) = F(x,z), difiren radicalmente das utilizadas paira o estudo de ecuacións funcionais con funcións monovariables como f(x+e)=f(x)+f(e).

O normal é que cando un investigador resolve una ecuación deste tipo, comunica o descubrimento nunha revista especializada utilizando técnicas básicas, ou ben o presenta como un problema de resolución nunha revista especializada en resolución de problemas, é dicir, na Olimpíada Internacional de Matemáticas. Cando un problema deste tipo preséntase nunha olimpíada matemática internacional, os participantes --alumnos excelentes entre outros- pon en marcha toda a súa habilidade e imaxinación paira resolver estes problemas novos paira eles, e moitas veces desenvolven novas técnicas. Ás veces, a colección de procedementos de resolución utilizados polos alumnos nas olimpíadas matemáticas constitúe un recurso enorme paira quen traballan nesta materia. Como xa temos, hai que dicir que uno dos libros máis destacados neste tema é o que escribiu o adestrador da selección canadense de Matemática Olímpica. Ordenou e recompilado as técnicas utilizadas polos mellores e obtivo un excelente libro sobre ecuacións funcionais.

Palabras finais e un problema como agasallo

Este tipo de ecuacións aparecen no noso campo de investigación e publicamos artigos en revistas especializadas (análise matemática abstracto, computación teórica, economía matemática ou selección social).

Estamos a traballar niso e podemos dicir que, a pesar de ser una liña que non se traballa demasiado entre os matemáticos, tampouco é de pouco interese. Por iso, atrevémonos/atrevémosnos a escribir esta nota, tentando pór de manifesto esta liña de investigación. Por último, se hai algún lector que aínda non está satisfeito, presentamos o segundo problema da Olimpíada de Matemáticas realizada en Santander: "Determine todas as funcións reais f:R R R dunha soa variable que cumpran a ecuación funcional f(e)(x-2)+f(e+2f(x)=f(x+e f(x))), x,e e R."

Esta rama de investigación forma parte do proxecto de investigación MTM2012-37894-C02-02.

1 Tivemos que utilizar este nome imaxinario porque grazas á ampla visión dos políticos hoxe en día non hai grupos de investigación.

Referencias