Ondas de dispersión lineais e non lineais

1998/09/01 Vega, Luis Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

As observacións realizadas polo enxeñeiro escocés John Scott Russell nunha canle próxima a Edimburgo (1835) considéranse a primeira descrición escrita da onda solitaria. Neste caso, tratábase dunha onda orixinada en canles de pouca profundidade que mantiña aparentemente a forma e a velocidade sen cambios, pero que se propagaba a gran velocidade durante un período de tempo moi longo. Russell foi capaz de repetir o suceso no laboratorio e observou que a velocidade, altura e anchura da onda estaban relacionadas: maior velocidade a maior altura pero menor anchura.

Tiveron que pasar 60 anos paira atopar o modelo matemático adecuado. Tras as achegas básicas de Stokes (1847), Boususte (1872) e Rayleig (1876), Korteweg e de Vries (1895) propuxeron a ecuación que leva o seu nome:

(1) ht + (c0 + c1h) hx + nhxxx = 0.

A función h(x,t) mide a desviación da altura do fluído no punto x e no tempo t do estado de equilibrio. As constantes físicas do problema son c0, c1 e n. É fácil ver que as funcións (2) son as solucións da ecuación (1), independentemente da>0, comprobando as observacións de Russell. A existencia da citada onda solitaria é a influencia dun determinado equilibrio entre a dispersión que produce o termo que leva á terceira derivada e o choque ou concentración producido pola interacción non lineal.

Na segunda metade deste século, Kruskal e Zabusky (1965) conseguiron a ecuación KdV (que se chama así (ecuación (1))) como límite continuo dunha rede unidimensional formada por N peiraos con débil interacción non lineal, segundo o modelo proposto por Fermi, Pasta e Ulam (1955). KdV é exactamente o resultado dunha interacción cuadrática. Cando o tema hhx é cúbico substitúese por h2hx. A nova ecuación denomínase KdV modificado (mKdV). Tomando os datos iniciais simples (h(x,0) = a cos (2{)), realizáronse ensaios numéricos e, tras un intervalo de tempo, viron que aparece un tren de ondas formado por varias "ondas solitarias", con amplitudes e, por tanto, velocidades diferentes. Ao ser as condicións da contorna periódicas, estas ondas enfróntanse entre si e, isto si, sorprendentemente, seguen o camiño tras os choques, xa que apenas ocorreu. É dicir, como una interacción lineal.

Inventaron a palabra "solitoi" paira este novo tipo de resolución. Ademais, Fermi, Pasta e Ulam tamén viron o que destacaron como un fenómeno case xornalístico. A transformación que Miura atopou na súa evolución foi decisiva, relacionando as solucións de KdV e mKdV (máis concretamente, pódese ver que as cantidades que a evolución mantén sen modificar son infinitas). Por outra banda, tanto KdV como mKdV considéranse na actualidade ecuacións "canónicas", aparecendo como una aproximación a certos modelos físicos e non só na dinámica das ondas en canles de pouca profundidade. Pódese ver o libro [1] da bibliografía paira estes temas e como referencia de resultados anteriores.

Con todo, non debemos esquecer que as ecuacións son só modelos matemáticos e son una simplificación bruta do problema físico orixinal. Non está claro, por tanto, si con este procedemento non perdemos a información esencial. Tampouco se garante de antemán que este modelo matemático teña solución paira un conxunto razoable de datos iniciais. Tampouco, en caso de resolución, que esta sexa única e asegure un comportamento correcto ante pequenos erros de medición dos datos iniciais. Traballamos neste campo. R. Kenig (University of Chicago) e G. Cos profesores Ponce (University of California, Santa Bárbara) e varios traballos iniciados en 1989 desenvolvemos técnicas paira tratar estes temas.

Tanto KdV como mKdV deben considerarse perturbacións "pequenas" do problema lineal ao que están vinculadas. Con todo, non está claro como se debe medir esta pequena luz. É dicir, os instrumentos de medida e decisión do pequeno e grande deben atoparse na ecuación das derivadas parciais correspondentes. Ou, o que é o mesmo, buscar o parámetro relevante do problema.

Segundo a nosa investigación a clave pode ser: Perturbación do perfil inicial da onda solitaria que proporciona a fórmula (2) cun factor moi oscilante (cosNx, N>1) e una amplitude A(N) suficientemente pequena. Entón o dato inicial

(3) h = A(N) cos (Nx) sech2 (x-t/3),

será paira a ecuación de KdV e algo parecido (colocando sech no lugar de sech2) paira mKdV, tomando os valores particulares adecuados das constantes paira facilitar a súa representación. Vímolo en [3] e paira mKdV

(4) A(N)< N1/4

no seu caso, que as resolucións estean uniformemente aliñadas. Paira a ecuación de KdV o resultado era peor. Pero leste é o J do Institute for Advanced Study de Princeton. Foi dirixida polo profesor Bourgain, demostrando que A(N)<1 paira KdV era suficiente. Inventou novas técnicas paira iso, que foron moi útiles noutras ecuacións de derivados parciais. En particular, Fermi, Pasta e Ulam demostrou con precisión a periodicidade observada mediante métodos numéricos.

Sorprendentemente, o resultado de Bourgain pode mellorarse. En [4] demostramos que a amplitude tamén pode crecer. En concreto, basta

(5) A(N) < N-p , p > 3/4

Este resultado é máis acorde coa condición (4) coñecida paira mKdV, xa que a diferenza entre ambos é dunha unidade, como suxire a transformación de Miura.

Recentemente demostramos (4) que é óptima (é moi posible que así sexa (5). En concreto, utilizando o parámetro a de a fórmula (2) obtivéronse novas solucións con propiedades de interese. Por unha banda, salvo una masa residual con comportamento disperso, son ondas que se desprazan en dirección contraria á onda solitaria que aparece en (1). Doutra banda, ao actuar cos parámetros N e a, substituír o expoñente 1/4 na condición (4) por outro máis pequeno, pérdese a uniformidade de dependencia continua e, por tanto, demóstrase a inestabilidade.

Estas novas solucións son a generalización doutras coñecidas paira a ecuación semi-lineal de Schrödinger. Ecuación

(6) iut = uxx + l ou I2 ou

é dicir, tamén canónico e ten una estreita relación con mKdV, aínda que ao noso xuízo aínda non se entende ben. Por exemplo, as ondas solitarias cuxo perfil de secante hiperbólico é a solución de ambas as ecuacións. Ademais, a ecuación (6) contén solitones e a lei de conservación ten un número infinito. E ten una propiedade aparte, a inmutabilidad coas transformacións de Galileo. Por medio do presente, a resolución correspondente ao dato eiNx u0 pode redactarse en función do dato u0. Por tanto, paira (6) dedúcese a mesma inestabilidade que demostramos paira mKdV.

O significado desta inestabilidade desde o punto de vista físico é una pregunta inherente, xa que (6) aparece como una aproximación a modelos físicos de varios ámbitos, como a óptica non lineal e a mecánica de fluídos. Máis concretamente, e a través da transformación de Hasimoto, está ligada á evolución dun "vortex filament" e, no ferromagnetismo, é o límite continuo da cadea de Heisenberg. Esta onda solitaria ten o seu último enlace co problema clásico da "curva elástica" de Bernoulli: Escribindo de forma polar o número complexo que dá a resolución ou da ecuación (6), o módulo dá curvatura e o argumento é a función orixinal da torsión.

Por último, a inestabilidade destas novas resolucións pode servir paira resolver outro problema. Volvamos á ecuación de KdV e tomemos a constante física n que mide a dispersión. Como se indicou anteriormente, cando o valor deste parámetro é cero, o modelo pode xerar ondas de choque (basta con tomar datos iniciais non decrecientes). A forma de continuar a resolución tras as colisións non é a única. Por iso hai que volver ao modelo físico e utilizar a entropía paira seleccionar una resolución fisicamente significativa. Outra forma de responder o problema da non soidade é mediante a resolución da ecuación (2) paira os valores de n, tomando o límite. A relación entre a solución "entrópica" e a "dispersión nula" non está ben clarificada. Tamén queremos advertir que, actuando cos parámetros N e a de as novas resolucións antes mencionadas, podemos modificar a dispersión n.

• Título do proxecto: Ondas de dispersión lineais e non lineais.
• O obxectivo do proxecto é o problema do Cauchy das ecuacións de dispersión, a regularidade dos datos e resolucións iniciais, a inestabilidade das solucións.
• Director: Luís Veiga González
• Equipo de traballo: Susana Gutierrez de Graza yM. Cruz Vilela Bendaña (UPV/EHU); Campaneros: Carlos E. Kenig (University of Chicago) e Gustavo Ponce (University of California, Santa Bárbara)
• Departamento: Matemáticas
• Facultade: Facultade de Ciencias

REFERENCIAS

1. A.C. Newell, Solitons in Mathematics and Physics (SIAM, eds. ), 1985.
2. J. Bourgain, Fourier restriction phenomena for certain latticesubsets and applications to nonlinear evolution equations,Geometric and Functional Anal. 3 (1993), 107-156, 209-262.
3. C.E. Kening, G. Ponce and L. Veiga, Well-posedness and scattering results for the generalized Korteweg-de Vries equation via theccontraction principle, Comm. Pure Apple. Math. 46 (1993), 527-620.
4. C.E. Kening, G. Ponce and L. Veiga, A bilinear estimate withapplications to the KdV equation, Journal Amer. Math. Soc. 9(1996), 573-603.