El terror del cantor y del infinito

2009/11/01 Roa Zubia, Guillermo - Elhuyar Zientzia Iturria: Elhuyar aldizkaria

• Matematika

Las matemáticas no han provocado muchas veces el miedo. Ha ahuyentado a mucha gente y goza de fama de ser incomprensible y aburrido, pero difícilmente le da miedo. Sin embargo, ha ocurrido. El prestigioso matemático Georg Cantor tuvo que superar el miedo para mantener la investigación y hoy en día forma parte de la historia de las matemáticas. Objeto de estudio, infinito.

El infinito matemático no tiene un aspecto muy terrorífico, es un símbolo en forma de ocho tumbados que pocas veces aparece en los cálculos. Pero, más allá del símbolo, el concepto mismo es oscuro y terrible.

En la práctica, el infinito no es nada terrorífico cuando surge a través de un sistema cíclico. Un ejemplo: Un viaje sobre la Tierra puede ser infinito porque el mismo planeta no termina en ningún sitio; y otro: los dos extremos de una cinta magnética unidos entre sí forman una cinta que no termina y que puede utilizarse para la grabación continua del vídeo (eliminando el anterior giro en cada gira).

Pero un infinito no cíclico se escapa de la intuición. En definitiva, todo tiene un final en el mundo del hombre mortal. Y el concepto del infinito no termina. ¿Cuántos números hay? Claro, infinito. ¿Pero qué significa eso? No es un concepto intuitivo. Sabemos que hay infinito números, pero no podemos imaginar el concepto en la realidad. Hay que ir más allá de la intuición para empezar a entender. Georg Cantor se embarcó en este viaje más allá de la intuición y murió en un hospital psiquiátrico, lleno de críticas y dudas filosóficas de muchos matemáticos de la época. Pero fue un gran científico que abrió el camino del infinito.

Cantor definió matemáticamente el infinito. No bastó saber que hay infinitos números, Cantor demostró que eso es cierto, que el conjunto de los números tiene infinitos elementos.

Para ello, analizó los grupos finitos. Se entiende fácilmente con dos conjuntos de tres elementos. Un conjunto de números 1, 2 y 3, y un conjunto de números 4, 5 y 6, por ejemplo. Mediante una sencilla operación se puede unir un número del primer grupo y otro del segundo. Esta operación permite agrupar todos los elementos por parejas (1 y 4, 2 y 5, 3 y 6). No hay elementos en falta o sobran y hay enlaces individuales. Cantor dice que eso demuestra que ambos grupos tienen el mismo número de elementos. Haciendo lo mismo con grupos muy grandes, se puede saber si ambos tienen el mismo número de elementos o no, sin saber cuál es.

Pues en la definición del infinito lo mismo. Cogió el conjunto de los números naturales (1, 2, 3...) y comprobó que se podía asociar individualmente al conjunto de los números pares (2, 4, 6...). No importa el número de elementos, se puede hacer una unión por parejas, sin sobrar ni faltar elementos. Sabemos que el segundo grupo es el subconjunto del primero y, sin embargo, es posible. Cantor indicó que esto sólo ocurre con los conjuntos de infinito elementos, y así quedó definido el infinito.

Nuevos infinitos

La verdadera revolución vino porque un paso fue más allá: propuso que no todos los infinitos son iguales. Hay infinitos más grandes que otros. Por ejemplo, el conjunto de números naturales tiene menos números que los números reales. Los números naturales son 1, 2, 3, etc., mientras que en el conjunto de los números reales se incluyen los números con decimales. Por tanto, el infinito de números reales es mayor que el de números naturales.

¿Cuántos números naturales hay? Pues Cantor dio un nombre a esa cantidad infinita: Aleph-0 Se trata de un número, pero al provenir de un conjunto infinito, es un número transfinito. Obviamente, Aleph-0 es mayor que cualquier número natural, pero menor que otros números transfinitos.

Por ejemplo, el número de números reales Aleph-1 es mayor. Y no sólo es mayor, sino que es un infinito de otro tipo, ya que los números reales no se pueden contar, no son numerables (los naturales sí).

Cantor estaba asustado. Creó una aritmética completa de los números transfinitos; el siguiente paso lógico era investigar el infinito, pero pensaba que llegó demasiado lejos. Estaba a las puertas del campo religioso, o en el interior, porque los conceptos del infinito y de Dios tienen mucho que ver. Recibió muchas críticas y se deprimió.

La triste vida de Cantor trajo un tesoro a las matemáticas. Actualmente, la aritmética de los números transfinitos es fundamental en el tratamiento del infinito. Eso fue lo que hizo grande Cantor: miró frente al miedo matemático en beneficio de los menos atrevidos.