}

Premi Abel 2006: La força d'un analista

2006/07/01 Duoandikoetxea Zuazo, Javier - EHUko matematika irakaslea Iturria: Elhuyar aldizkaria

El premi Abel ha estat atorgat per quarta vegada enguany, el màxim premi mundial que un matemàtic pot guanyar. El guanyador ha estat el suec Lennart Carleson, un matemàtic de reconegut prestigi en el camp de l'anàlisi matemàtica. El jurat ha destacat la força que ha exercit per a abordar i resoldre problemes difícils, i especialment la petjada que ha deixat en dos àmbits: Teoria de sèries de Fourie i sistemes dinàmics.
Premi Abel 2006: La força d'un analista
01/07/2006 | Duoandikoetxea Zuazo, Javier | Profesor UPV

Estàtua en honor al matemàtic Niels Abel.
Premi Abel/Academia Noruega de Ciències i Lletres
En 1902 apareixen tres intencions de Niels Henri per a commemorar el primer centenari del naixement d'Abel i difondre el seu prestigi: celebrar actes culturals, establir una estàtua i organitzar un premi internacional. Es van celebrar actes culturals, l'Estat es va inaugurar en 1908, però el premi no es va organitzar. Sembla que van estar a punt de fer-ho, però quan en 1905 Noruega es va separar de Suècia, allí van ser els somnis de crear el premi.

A punt de complir-se el segon centenari, es va recuperar la idea centenària i es va demanar al govern noruec que creés un premi. En 2002 el govern noruec va aprovar els estatuts del Fons Abel. L'objectiu principal del fons és "Atorgar un premi internacional a un treball científic rellevant en el camp de les matemàtiques". Sembla que aquest premi pot estar en el camí de ser un substitut del que podria ser el Nobel de Matemàtiques: on s'emet --Noruec--, qui --els reis noruecs o reina de Noruega -, quants diners -gairebé, entre altres -. El futur dirà si és així o no, segons vagin complint els anys.

Lennart Carlos

El premi Abel 2006 ha estat per a Lennart Carles, matemàtic destacat en l'anàlisi clàssica. Nascut a Estocolm en 1928, va estudiar en la Universitat d'Uppsala, on va presentar la seva tesi doctoral en 1950. Les matemàtiques, sobretot l'anàlisi, han tingut una gran tradició a Suècia, XIX. A partir de la segona meitat del segle XX. El propi director de Carleson, Arne Beurling, és un destacat analista.

Lennart Carlos.
Premi Abel/Academia Noruega de Ciències i Lletres

Amb 25 anys va aconseguir el lloc de professor de la Universitat d'Estocolm, però aviat va tornar a Uppsala. Allí va ser professor fins a 1993; anys després, sense deixar de treballar, va anar també professor de la Universitat UCLA de Los Angeles.

Entre els treballs de Carleson destaquen la resposta que ha donat a problemes difícils que han estat pendents de resolució durant diversos anys. Per exemple, en 1962 va demostrar el teorema de la Corona i, així, el matemàtic japonès Kakutani va resoldre la pregunta que havia llançat vint anys abans.

Va ser major el que va fer quatre anys després, en resoldre el major problema obert de la teoria de sèries de Fourie, la convergència punt a punt. Amb això va entrar en la història de les Matemàtiques.

A més, en la dècada dels 80, enfront de la creença que els matemàtics obtenen els seus principals resultats a edats primerenques, va donar resposta a un problema obert en sistemes dinàmics suaus, al costat de Michael Benedicks.

A més de tot això, és evident el treball de Carlesón per les Matemàtiques. Heus aquí un exemple. En 1916 el matrimoni Mittag-Leffler va declarar la seva intenció de deixar la seva casa i la seva biblioteca a l'Acadèmia Sueca de Ciències per a crear un institut de matemàtiques. En 1927 va morir Mittag-Leffler, l'institut es va fundar, però no es va organitzar per falta de diners segons les seves intencions. En 1967 el Govern suec va donar l'oportunitat a Carleson de treballar on volia i ell va decidir posar en marxa l'institut Mittag-Leffler. També ho va fer, va obtenir les subvencions necessàries i ho va convertir en un dels centres de recerca més prestigiosos del món. Fins a 1984 va ser director de l'institut.

Sèries Fourie

Part de l'obra de Carleson pertany a l'àmbit de les sèries i transformats de Fourie, una eina matemàtica molt utilitzada en la ciència.
G. Rosegui
Les sèries de Fourie estan a punt de complir els dos-cents anys. De fet, és de 1807 quan Joseph Fourier va presentar el seu primer treball a l'Acadèmia de la Ciència de París. Va proposar i va resoldre l'equació de la propagació de la calor, inventant per a això una via específica, la distribució de variables que ha resultat tan útil. La funció que dóna la temperatura inicial s'escriu com a sèrie de si i cosinus, és a dir, com a suma infinita, i Fourier va afirmar que això és possible per a totes les funcions.

Confirmar sí, provar no. No és d'estranyar que fins llavors va desenvolupar enormement les anàlisis matemàtiques

eines de càlcul, però no “mitjans de prova geomètrics”, en paraules de Cauchy. Com el nou vent del rigor requeria proves, l'afirmació de Fourie no era un teorema, però es va convertir en un problema. I molt important, el XIX. En la gènesi i evolució de molts dels conceptes de l'anàlisi matemàtica del segle XX van ser sèries trigonomètriques: funció, integral, convergència uniforme...

El segell va sortir a Noruega per a commemorar el bicentenari de Niels Abel.
NUS

XIX. La teoria clàssica de les sèries de Fourie acabava amb el segle XIX. XX. En els primers anys del segle XX, no obstant això, el sector va ser completament renovat. Les raons van ser dues: Teoria de la mesura i integral de Lebesgue i teoria dels espais funcionals, és a dir, anàlisi funcional actual.

L'aiero de Lusin va arribar en 1913: si el quadrat d'una funció és integrable, la seva sèrie de Fourie coincideix en tots els punts, excepte en un “conjunt de longitud zero”. L'afirmació es deu al matemàtic rus Lusin, no provada, però sí amb la convicció de ser un teorema.

Amb el pas dels anys es van reunir altres teoremes en el camp de les sèries de Fourie, però ningú donava aquesta categoria a la conjectura de Lusin. Ni al contrari, perquè això també podia ocórrer. La veritat és que, a partir d'un moment, entre els experts va començar a generalitzar-se aquesta convicció que la intuïció de Lusin va estar equivocada. Per això, quan en 1965 Carleson va demostrar el teorema, va anar en certa manera una sorpresa.

Ell mateix ha contat que durant diversos anys va intentar demostrar el contrari. Quan pensava que tenia totes les eines disponibles per a un contraposició, li va resultar impossible. Llavors va veure que havia de prendre l'altra via, la de si, i va poder aconseguir el resultat amb les eines acumulades.

La prova de Carleson va tenir des del principi la fama de ser misteriós. Encara que tècnicament era correcte, no s'entenia. Encara sembla que les causes de la seva estructura interna són massa inclinades per a la majoria. Per a utilitzar la comparació del matemàtic Michael Christ és com l'ascensió d'una muntanya de vuit mil metres, la majoria no som capaces de caminar pel nostre compte, però Carlesón ens va demostrar que hi ha un camí que porta al cim.

Sistemes dinàmics

El conjunt vermell que es veu en la imatge és l'estranya "atracció" del sistema d'Hénon.
cogakuin.ac.jp
També en un altre camp de les matemàtiques, Carleson va fer camins al cim, per exemple, en sistemes dinàmics.

Prendre una funció del pla al pla, per exemple, i aplicar la funció diverses vegades començant en un punt. Quin és el comportament de la successió de punts obtinguda --orbital -? S'acosta a un límit, va a l'infinit o fa alguna cosa més? A partir d'aquesta pregunta i depenent de les funcions, va sorgir un camp de les Matemàtiques. A la fi del segle XX, sobretot de la mà del matemàtic francès Henri Poincaré.

Després d'uns resultats teòrics, la veritable innovació en el camp es va produir en l'ordinador. Fent veure les òrbites dels punts en la pantalla es podia sospitar del que podia passar, per a fer conjectures. Després haurien de venir les proves. D'aquí va sorgir el que han anomenat la teoria del Caos.

En aquesta edició del premi Lennart Carleson Abel.
Premi Abel/Academia Noruega de Ciències i Lletres

És freqüent citar un estudi del meteoròleg Lorentz com un dels primers exemples del caos. En 1976 un altre meteoròleg, Michel Hénon, resumint les equacions de Lorentz, va donar un sistema de pla en el qual apareix un comportament bastant particular. Es detecta un conjunt 'estrany', en el qual les òrbites es dirigeixen cap a allí (s'aproximen al conjunt però no a un valor concret), però si comencem en un punt del conjunt s'obté una òrbita que es desplaça en aquest. I no sols això, l'estructura del conjunt és estranya, ja que és fractal. Per això es va inventar el terme "estranya atracció". És possible demostrar-ho matemàticament?

En la dècada dels 80 va entrar en Carles en el camp dels sistemes dinàmics. Al costat de Michael Benedicks, va inventar un nou mètode per a estudiar un primer cas senzill. Posteriorment, van adaptar el mètode per a poder aplicar-lo al sistema d'Hénon i van ser capaços de descriure la seva dinàmica, convertint la conjectura d'anys anteriors en un teorema. Amb aquests resultats, l'article publicat per Carlos i Benedicks en 1992 ha quedat com una fita en la teoria dels sistemes dinàmics.

Niels Henrik Abel
Niels Henrik Abel va néixer en 1802 al poble noruec de Frindoe. Noruega encara formava part de Dinamarca fins a la seva separació en 1814, però aviat Suècia es va fer amb un únic regne. Les guerres i el bloqueig van marcar temps durs i la pobresa i la fam van marcar els primers anys de vida d'Abel.
Va tenir dificultats per a estudiar i va tenir al seu pare com a professor fins als 13 anys. El seu pare era pastor protestant i va exercir com a nacionalista noruec en la política. En 1815 va ser enviat a l'escola a Abel Christiania, avui Oslo. Dos anys després, un nou professor anomenat Holmboe, va detectar la competència matemàtica, li va fer classes especials i li va animar a llegir diversos treballs clàssics.
(Foto: MEC)
En 1821 va ingressar en la Universitat de Christian. A Noruega sabia més Matemàtiques que ningú, però en altres temes no es va destacar res. Per part seva, va continuar estudiant i va publicar el seu primer treball de recerca en 1823. Tenia clar que havia d'arribar a prestigiosos matemàtics europeus, França i Alemanya, i després de molts esforços, en 1825 va poder iniciar el seu desitjat viatge.
Coneix a l'enginyer Leopold Crelle de Berlín. A punt de crear una revista matemàtica, Journal für die regni und angewandte Mathema, on van aparèixer la majoria dels resultats de la recerca d'Abel. És la revista matemàtica més antiga que sobreviu en l'actualitat. El centre de matemàtiques es va traslladar a París. No obstant això, va passar per París sense molta sort, ningú li va prestar l'atenció que mereixia i van perdre el treball que va presentar en l'Acadèmia.
En 1827 va tornar a Noruega per a quedar-se allí. Però no li van donar un treball permanent i va acceptar anar a Berlín, si Crell aconseguís un lloc. I ho va aconseguir, però tarda, perquè la tuberculosi va matar a Abel en 1829, sense complir encara 27 anys. En pocs anys i malgrat treballar en condicions desfavorables, Abel ha passat a la història de les matemàtiques pels seus treballs en equacions algebraiques, integrals el·líptiques i teoria de sèries.
Duoandikoetxea Zuazo, Javier
Serveis
222
2006
Uns altres
030
Matemàtiques
Article
Recursos